Квадрат графикті қалай салу керек: 10 қадам (суреттермен)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-02-01 14:14

Графикалық түрде берілгенде квадрат теңдеу формада болады балта² + bx + c немесе а (х - с)² + к U әрпін немесе парабола деп аталатын U қисық сызығын құрыңыз. Квадрат теңдеуді сызу шыңды, бағытты және көбінесе х пен у қиылысын іздейді. Қарапайым квадрат теңдеулер жағдайында x мәндерінің жиынтығын енгізу және алынған нүктелерге сүйене отырып қисықты салу жеткілікті болуы мүмкін. Жұмысты бастау үшін төмендегі 1 -қадамды қараңыз.

Қадам

Қадам 1. Сізде бар квадрат теңдеудің формасын анықтаңыз

Квадрат теңдеулерді үш түрлі формада жазуға болады: жалпы форма, шың формасы және квадраттық форма. Квадрат теңдеудің графигін салу үшін кез келген форманы қолдануға болады; әр графикті бейнелеу процесі сәл өзгеше. Егер сіз үй тапсырмасын орындайтын болсаңыз, сіз әдетте осы екі форманың бірінде сұрақтар аласыз - басқаша айтқанда, сіз таңдай алмайсыз, сондықтан екеуін де түсінген дұрыс. Квадрат теңдеудің екі формасы:

• Жалпы форма.

  Бұл формада квадрат теңдеу былай жазылады: f (x) = ax² + bx + c - мұндағы a, b және c - нақты сандар, ал а - нөл емес.

  Мысалы, жалпы түрдегі екі квадрат теңдеу f (x) = x² + 2x + 1 және f (x) = 9x² + 10х -8.

• Шың пішіні.

  Бұл формада квадрат теңдеу былай жазылады: f (x) = a (x - h)² + k - мұнда a, h және k - нақты сандар, ал а - нөл емес. Ол шың формасы деп аталады, себебі h және k сіздің параболаңыздың шыңын (орта нүктесін) (h, k) нүктесінде бірден береді.

  Шыңның екі формуласы f (x) = 9 (x - 4)² + 18 және -3 (x - 5)² + 1

• Кез келген теңдеу түрін графиктен өткізу үшін алдымен параболаның төбесін табу керек, ол қисықтың соңындағы (h, k) нүктесі. Жалпы формадағы шыңдардың координаттары мына түрде есептеледі: h = -b/2a және k = f (h), ал шыңдық формада h және k теңдеуде болады.

Қадам 2. Айнымалыларды анықтаңыз

Квадраттық есепті шешу үшін әдетте a, b және c (немесе a, h және k) айнымалыларын анықтау қажет. Кәдімгі алгебра мәселесі қол жетімді айнымалылармен квадрат теңдеу береді, әдетте жалпы түрде, бірақ кейде шың түрінде.

• Мысалы, жалпы түрдегі теңдеу үшін f (x) = 2x² + 16x + 39, бізде a = 2, b = 16 және c = 39 бар.
• Шың формасы үшін f (x) = 4 (x - 5) теңдеуі² + 12, бізде a = 4, h = 5 және k = 12.

3 -қадам. H есептеңіз

Шың формасы теңдеуінде сіздің h мәніңіз қазірдің өзінде берілген, бірақ жалпы формула теңдеуінде h мәні есептелуі керек. Есіңізде болсын, жалпы түрдегі теңдеулер үшін h = -b/2a.

• Біздің жалпы формада мысал (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Шешкеннен кейін h = екенін табамыз - 4.
• Біздің шың формасында мысал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), біз h = 5 екенін математикасыз білеміз.

4 -қадам. K есептеңіз

H сияқты, k шың формасының теңдеуінде белгілі. Жалпы формадағы теңдеулер үшін k = f (h) екенін есте сақтаңыз. Басқаша айтқанда, теңдеуіңіздегі барлық x мәндерін сіз тапқан h мәндерімен ауыстыру арқылы k таба аласыз.

• Біз жалпы формада h = -4 екенін анықтадық. K табу үшін біз теңдеуімізді шешеміз, оның орнына х мәнін x орнына қоямыз:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7 -қадам.

• Біздің ең жоғары үлгідегі мысалда, біз математиканы қолданбай -ақ k (12 -ге тең) мәнін білеміз.

5 -қадам. Шыңды сызыңыз

Сіздің параболаның шыңы (h, k)-h нүктесі х координатасын, ал k у у координатасын білдіреді. Шыңы - сіздің параболаның ортаңғы нүктесі - U түбінде немесе төңкерілген U жоғарғы жағында. Шыңдарды білу - дәл параболаны салудың маңызды бөлігі - көбінесе мектептегі жұмыста шыңды анықтау - бұл сұрақтың ізделетін бөлігі.

• Біздің жалпы формадағы мысалда біздің шыңымыз (-4, 7). Осылайша, біздің парабола 0 және 7 сатыдан жоғары (0, 0) солға қарай 4 қадаммен аяқталады. Біз бұл нүктені графигімізде бейнелеп, координаттарды белгілеуіміз керек.
• Біздің шың формасындағы мысалда біздің шыңымыз (5, 12). Біз 5 қадам оңға және 12 қадам жоғары нүктені салуымыз керек (0, 0).

Қадам 6. Параболаның осін сызыңыз (міндетті емес)

Параболаның симметрия осі - оның ортасынан өтетін, оны дәл ортасына бөлетін сызық. Бұл осьте параболаның сол жағы оң жағын көрсетеді. Ax түріндегі квадрат теңдеулер үшін² + bx + c немесе a (x - h)² + k, симметрия осі-у осіне параллель (басқаша айтқанда, тік) және шыңнан өтетін сызық.

Біздің жалпы үлгі мысалында, ось-у осіне параллель және (-4, 7) нүктесі арқылы өтетін түзу. Бұл параболаның бөлігі болмаса да, бұл сызықты графикте жіңішке белгілеу ақырында парабола қисығының симметриялы пішінін көруге көмектеседі

Қадам 7. Параболаның ашылу бағытын табыңыз

Параболаның шыңы мен осін білгеннен кейін, біз параболаның ашылатынын немесе төмен түсетінін білуіміз керек. Бақытымызға орай, бұл оңай. Егер а мәні оң болса, парабола жоғары қарай ашылады, ал егер теріс мән болса, парабола төмен қарай ашылады (яғни парабола төңкеріледі).

• Біздің жалпы формамыз үшін мысал (f (x) = 2x² + 16x + 39), бізде ашылатын парабола бар екенін білеміз, себебі біздің теңдеуде a = 2 (оң).
• Біздің шың формасы үшін мысал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), бізде ашылатын парабола бар екенін білеміз, себебі a = 4 (оң).

Қадам 8. Қажет болса, x-қиылысын тауып сызыңыз

Көбінесе, мектептегі жұмыста сізден параболадағы x-қиылысын табу сұралады (бұл парабола х осіне сәйкес келетін бір немесе екі нүкте). Егер сіз біреуін таппасаңыз да, бұл екі нүкте дәл параболаны салу үшін өте маңызды. Дегенмен, барлық параболаларда x-intercept жоқ. Егер сіздің параболада ашылатын шың болса және оның төбесі x осінен жоғары болса немесе төмен қарай ашылып, оның төбесі х осінен төмен болса, параболада x-тұйықталу болмайды. Әйтпесе, x-кедергісін келесі жолдардың бірімен шешіңіз:

• Тек f (x) = 0 жасаңыз және теңдеуді шешіңіз. Бұл әдісті қарапайым квадрат теңдеулер үшін қолдануға болады, әсіресе шыңында, бірақ күрделі теңдеулер үшін өте қиын болады. Мысал үшін төменде қараңыз

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Түбір (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 және 13 параболадағы x-интерпрециясы болып табылады.

• Теңдеудің факторы. Балта түріндегі кейбір теңдеулер² + bx + c (dx + e) (fx + g) формасына оңай қосылады, мұнда dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, және e × g = c. Бұл жағдайда сіздің x-интерцепциялары x мәндері болып табылады, олар жақшаның кез келген терминін жасайды = 0. Мысалы:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Бұл жағдайда сіздің жалғыз x -қиылысуыңыз -1 болады, себебі х -ты -1 -ге теңдеу жақшалардағы кез келген фактор мүшесін 0 -ге тең етеді.

• Квадрат формуланы қолданыңыз. Егер сіз x-қиылысын оңай шеше алмасаңыз немесе теңдеуіңізді көбейте алмасаңыз, осы мақсат үшін құрылған квадраттық формула деп аталатын арнайы теңдеуді қолданыңыз. Егер ол әлі шешілмесе, теңдеуді ax ax түріне түрлендіріңіз² + bx + c, содан кейін a, b және c енгізіңіз x = (-b +/- sqrt (b) формуласына² - 4ac))/2a. Назар аударыңыз, бұл әдіс сізге x мәніне екі жауап береді, бұл жақсы, бұл сіздің параболада екі x-интерцепті бар екенін білдіреді. Мысал үшін төменде қараңыз:

  • -5x² + 1x + 10 келесідей квадрат формулаға енгізілген:
  • x = (-1 +/- Түбір (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Түбір (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Түбір (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) және (-15, 18/-10). Параболадағы х-кесіндісі x = - 1, 318 және 1, 518
  • Жалпы форманың алдыңғы үлгісі, 2x² +16x+39 квадраттық формулаға келесі түрде енгізіледі:
  • x = (-16 +/- Түбір (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Түбір (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Түбір (-56)/-10
  • Теріс санның квадрат түбірін табу мүмкін болмағандықтан, біз бұл парабола екенін білеміз x-intercept жоқ.

Қадам 9. Қажет болса, y-қиылысын тауып, сызыңыз

Теңдеулерден y-қиылысын іздеудің қажеті болмағанымен (параболаның y осінен өтетін нүктесі), ақырында оны табу қажет болуы мүмкін, әсіресе мектепте болсаңыз. Процесс өте қарапайым-x = 0 жасаңыз, содан кейін f (x) немесе y теңдеуін шешіңіз, бұл параболаның у осінен өтетін у мәнін береді. Х-кесілуден айырмашылығы, тұрақты параболада тек бір у кесіндісі болуы мүмкін. Ескерту-жалпы түрдегі теңдеулер үшін у-қиылысу y = c деңгейінде болады.

• Мысалы, біздің квадрат теңдеудің 2x екенін білеміз² + 16x + 39 y = 39 нүктесінде y-қиылысы бар, бірақ оны келесі жолмен табуға болады:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Параболаның y-кесіндісі-де y = 39.

    Жоғарыда айтылғандай, у-қиылысу y = c деңгейінде.

• Біздің төбедегі теңдеудің формасы 4 (x - 5)² + 12-де y-қиылысы бар, оны келесі жолмен табуға болады:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Параболаның y-кесіндісі-де y = 112.

Қадам 10. Қажет болса, қосымша нүктелерді сызыңыз, содан кейін график салыңыз

Енді сізде теңдеуде шыңы, бағыты, x-қиылысы және мүмкін y-қиылысы бар. Бұл кезеңде сіз өзіңіздің параболаңызды бағыттаушы ретінде ұпайлармен салуға тырысасыз немесе сызық қисығы дәлірек болу үшін параболаңызды толтыратын басқа нүктелерді іздей аласыз. Мұны істеудің ең оңай жолы-шыңның кез келген жағына кейбір x мәндерін енгізу, содан кейін алынған у мәндерін пайдаланып осы нүктелерді салу. Көбінесе мұғалімдер сізден параболаны салудан бұрын бірнеше нүктені іздеуді сұрайды.

• X теңдеуін қарастырайық² + 2x + 1. Біз x -intercept тек x = -1 болатынын білеміз. Қисық бір нүктеде тек x-қиылысына ғана тиетін болғандықтан, төбесі оның х-кесіндісі деп қорытынды жасауға болады, яғни шыңы (-1, 0). Бізде бұл парабола үшін бір ғана нүкте бар - жақсы параболаны салу үшін жеткіліксіз. Толық графикті салу үшін басқа нүктелерді іздейік.

  • Келесі х мәндері үшін y мәндерін табайық: 0, 1, -2 және -3.
  • 0 үшін: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Біздің ойымыз (0, 1).

  • 1 үшін: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Біздің ойымыз (1, 4).

  • -2 үшін: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Біздің ойымыз (-2, 1).

  • -3 үшін: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Біздің ойымыз (-3, 4).

  • Осы нүктелерді графикке салыңыз және U-тәрізді қисық сызықты сызыңыз. Параболаның симметриялы екеніне назар аударыңыз - егер параболаның бір жағындағы нүктелер бүтін сандар болса, сіз параболаның екінші жағындағы сол нүктені табу үшін параболаның симметрия осінде берілген нүктені көрсету жұмысын азайта аласыз..

Кеңестер

• Алгебра мұғалімінің өтініші бойынша сандарды дөңгелектеңіз немесе бөлшектерді қолданыңыз. Бұл сізге квадрат теңдеуді жақсырақ сызуға көмектеседі.
• Назар аударыңыз, f (x) = ax² + bx + c, егер b немесе c нөлге тең болса, бұл сандар жоғалады. Мысалы, 12 есе² + 0x + 6 12x болады² + 6, себебі 0x - 0.