Алгебраны қалай үйренуге болады (суреттермен)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-16 19:40

Алгебраны меңгеру математиканың кез келген түрін бастауыш немесе орта мектепте жалғастыру үшін қажет. Әрбір математикалық деңгейдің негізі бар, сондықтан әрбір математикалық деңгей өте маңызды. Алайда, алгебралық ең қарапайым дағдылардың өзінде жаңадан бастаушыларға олармен бірінші рет кездескенде түсіну қиын болуы мүмкін. Егер сізде алгебра тақырыбы бойынша қиындықтар туындаса, уайымдамаңыз - қосымша түсініктеме, бірнеше қарапайым мысалдар мен дағдыларыңызды жақсартуға арналған бірнеше кеңестер болса, сіз жақын арада алгебра мәселелерін кәсіби маман ретінде шешесіз.

Қадам

5 бөлімнің 1 бөлігі: Алгебраның негізгі ережелерін үйрену

Қадам 1. Негізгі математикалық операцияларды қарап шығыңыз

Алгебраны үйренуді бастау үшін қосу, азайту, көбейту және бөлу сияқты математиканың негізгі дағдыларын білу қажет. Бұл бастауыш/бастауыш математика алгебра оқуды бастамас бұрын өте маңызды. Егер сіз бұл дағдыларды меңгермесеңіз, алгебра бойынша оқытылатын күрделі ұғымдарды аяқтау қиын болады. Егер сізге осы операцияларды жаңарту қажет болса, біздің математиканың негізгі дағдылары туралы мақаланы көріңіз.

Алгебра есептерін жасау үшін сіздің басыңызда осы негізгі операцияларды орындауда жақсы болудың қажеті жоқ. Көптеген алгебра сабақтары калькуляторды қолдануға мүмкіндік береді, бұл қарапайым операцияларды орындау кезінде уақытты үнемдеуге мүмкіндік береді. Алайда, егер сіз калькуляторды қолдануға рұқсат етілмеген болса, сіз бұл әрекеттерді калькуляторсыз қалай орындау керектігін білуіңіз керек

Қадам 2. Амалдардың орындалу ретін білу

Алгебралық теңдеулерді бастаушы ретінде шешудің ең қиын нәрселерінің бірі - олардың басталу ретін білу. Бақытымызға орай, бұл есептерді шешудің белгілі бір тәртібі бар: алдымен жақшаның ішіндегі кез келген математикалық операцияны орындаңыз, содан кейін көрсеткіштерді орындаңыз, содан кейін көбейтіңіз, содан кейін бөліңіз, содан кейін қосыңыз және ақырында азайтыңыз. Бұл әрекеттердің тәртібін есте сақтаудың пайдалы құралы - бұл қысқартулар KPKBJK. Бұл жерде операциялардың орындалу тәртібін үйреніңіз. Қорытындылай келе, операциялардың реті:

Қ сәтсіздік
П көтеру/экспонент
Қ Әли
B қайтадан
Дж умлах
Қ асшаян
Алгебрада операциялардың реті маңызды, себебі алгебра есептеріндегі операцияларды қате ретпен орындау кейде жауапқа әсер етуі мүмкін. Мысалы, егер біз математикалық есепті 8 + 2 × 5 жасасақ, алдымен 2 мен 8 -ді қоссақ, 10 × 5 = аламыз 50, бірақ алдымен 2 мен 5 -ті көбейтсек, 8 + 10 = аламыз

18 -қадам.. Тек екінші жауап дұрыс.

Қадам 3. Теріс сандарды қолдануды білу

Алгебрада теріс сандарды қолдану өте жиі кездеседі. Сондықтан алгебраға кіріспес бұрын теріс сандарды қосу, азайту, көбейту және бөлу жолдарын қарастырған дұрыс. Есте сақтау керек кейбір теріс сандар негіздері - қосымша ақпарат алу үшін теріс сандарды қосу және азайту, теріс сандарды бөлу мен көбейту туралы мақалаларымызды қараңыз.

Сандар сызығында санның теріс нұсқасы нөлден нөлге дейінгі қашықтыққа тең, бірақ қарама -қарсы бағытта.
Екі теріс санды қосу санды одан да теріс етеді (басқаша айтқанда, цифр үлкен болады, бірақ сан теріс болғандықтан, мән кіші болады)
Екі теріс белгі бір -бірін жоққа шығарады - теріс санды азайту оң санды қосумен бірдей
Екі теріс санды көбейту немесе бөлу оң жауап береді.
Оң сан мен теріс санды көбейту немесе бөлу теріс жауап береді.

Қадам 4. Ұзын сұрақтарды қалай құруға болатынын біліңіз

Қарапайым алгебра есептерін оңай шешуге болады, ал күрделі есептер көптеген қадамдарды қажет етеді. Қателіктерге жол бермеу үшін, мәселені шешуге қадам басқан сайын жаңа жолды бастай отырып, жұмысты реттеп отырыңыз. Егер сіз екі жақты теңдеумен жұмыс жасасаңыз, басқа теңдік белгілерінің астына барлық теңдік белгілерін (“=”) жазуға тырысыңыз. Осылайша, егер сіз бір жерден қателік жасасаңыз, оны табу және түзету оңай болады.

Мысалы, 9/3 - 5 + 3 × 4 теңдеуін шешу үшін біз өз проблемамызды келесідей құра аламыз:

9/3 - 5 + 3 × 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

10 -қадам.

5 бөлімнің 2 бөлігі: Айнымалыларды түсіну

Қадам 1. Сандар емес таңбаларды іздеңіз

Алгебрада математика есептерінде сандар ғана емес, әріптер мен символдар пайда болатынын көре бастайсыз. Бұл әріптер мен белгілер айнымалылар деп аталады. Айнымалылар бір қарағанда көрінетіндей шатастырмайды - бұл мәндері белгісіз сандарды жазудың әдісі. Төменде алгебрадағы айнымалылардың бірнеше қарапайым мысалдары келтірілген:

X, y, z, a, b және c сияқты әріптер
Тета немесе сияқты грек әріптері
Назар аударыңыз, барлық символдар белгісіз айнымалы болып табылмайды. Мысалы, pi, немесе, әрқашан шамамен 3,1459 тең.

2 -қадам. Айнымалыларды «белгісіз» сандар деп ойлаңыз

Жоғарыда айтылғандай, айнымалылар - бұл мәндері белгісіз жай сандар. Әдетте алгебра есептерінде сіздің мақсатыңыз айнымалының мәнін білу болып табылады - айнымалыны сіз іздеп жүрген «жұмбақ сан» деп ойлаңыз.

Мысалы, 2x + 3 = 11 теңдеуінде x - біздің айнымалы. Бұл теңдеудің сол жағын 11 тең ету үшін х орнын алатын бірнеше мән бар екенін білдіреді. 2 × 4 + 3 = 11 болғандықтан, бұл жағдайда x =

4 -қадам..
Айнымалыларды түсінуді бастаудың қарапайым әдісі - оларды алгебра есептерінде сұрақ белгілерімен ауыстыру. Мысалы, 2 + 3 + x = 9 теңдеуін 2 + 3 + етіп қайта жаза аламыз?

= 9. Бұл бізге не істеп жатқанымызды түсінуді жеңілдетеді - тек 9 алу үшін 2 + 3 = 5 қосылуы керек мәнді табу керек. Тағы да, әрине, жауап

4 -қадам..

3 -қадам. Егер айнымалы бірнеше рет пайда болса, айнымалыны жеңілдетіңіз

Егер бір айнымалы теңдеуде бірнеше рет пайда болса, не істеу керек? Бұл жағдайды шешу қиын болып көрінсе де, сіз айнымалыларды қалыпты сандар сияқты қабылдай аласыз - басқаша айтқанда, сіз тек ұқсас айнымалыларды біріктіре отырып, оларды қоса аласыз, алып тастай аласыз және т.б. Басқаша айтқанда, x + x = 2x, бірақ x + y 2xy -ге тең емес.

Мысалы, 2x + 1x = 9 теңдеуін қарастырайық. Бұл есепте 3x = 9 алу үшін 2x пен 1x қосуға болады. 3 x 3 = 9 болғандықтан, x = екенін білеміз.

3 -қадам..
Бір ғана айнымалыларды бірге қосуға болатынын тағы да ескеріңіз. 2x + 1y = 9 теңдеуінде біз 2x пен 1y біріктіре алмаймыз, себебі олар әр түрлі айнымалы.
Бұл бір айнымалының басқа айнымалыға қарағанда басқа көрсеткішке ие болған кезде де қолданылады. Мысалы, 2x + 3x теңдеуінде² = 10, біз 2x пен 3x біріктіре алмаймыз² себебі х айнымалысы басқа көрсеткішке ие. Қосымша ақпарат алу үшін экспоненттерді қалай қосу керектігін қараңыз.

5 -тің 3 -бөлігі: «Терістеу» арқылы теңдеулерді шешуді үйрену

Қадам 1. Алгебралық теңдеулердегі айнымалыларды оқшаулауға тырысыңыз

Алгебрадағы теңдеулерді шешу әдетте айнымалының мәнін табуды білдіреді. Алгебралық теңдеулер әдетте екі жақтағы сандар мен/немесе айнымалылардан құралады, мысалы: x + 2 = 9 × 4. Айнымалының мәнін табу үшін айнымалыны теңдік белгісінің бір жағынан оқшаулау керек. Теңдік белгісінің екінші жағында не қалса, сіздің жауабыңыз.

Мысалда (x + 2 = 9 × 4), теңдеудің сол жағында х -ты бөліп алу үшін, біз « + 2» -ді алып тастауымыз керек. Ол үшін бізге сол жақтан 2 -ні ғана алып тастау керек, бізге x = 9 × 4 қалады. Алайда, теңдеудің екі жағын тең ұстап тұру үшін екінші жағынан 2 -ні де алып тастау керек. Бұл бізге x = 9 × 4 - 2 қалдырады. Амалдар реті бойынша алдымен көбейтеміз, содан кейін азайтамыз, x = = 36 - 2 = жауабымызды береміз. 34.

Қадам 2. Қосуды азайту арқылы алып тастаңыз (және керісінше)

Жоғарыда көргеніміздей, х теңдік белгісінің бір жағында оқшаулау әдетте оның жанындағы сандарды жоюды білдіреді. Ол үшін теңдеудің екі жағында да «кері» операциясын орындаймыз. Мысалы, x + 3 = 0 теңдеуінде, біз x-тен кейін « + 3» -ті көргендіктен, екі жағына «-3» қоямыз. «+3» және «-3», х-ты жалғыз қалдырып, теңдік белгісінің екінші жағындағы «-3» келесідей: x = -3.

Жалпы алғанда, қосу мен азайту «кері» сияқты - екіншісін алып тастау үшін бір операцияны есептеңіз. Төменде қараңыз:

Қосу үшін азайтыңыз. Мысалы: x + 9 = 3 → x = 3 - 9

Айыру үшін қосу керек. Мысалы: x - 4 = 20 → x = 20 + 4

Қадам 3. Бөлу арқылы көбейтуді жою (және керісінше)

Көбейту мен бөлуге жұмыс істеу қиынға соғады, бірақ бұл есептеулер бірдей «кері» қатынасқа ие. Егер сіз бір жағынан «× 3» көрсеңіз, оны екі жаққа 3 -ке бөлу арқылы жоққа шығарасыз және т.б.

Көбейту мен бөлу кезінде теңдік белгісінің екінші жағындағы барлық сандарға кері әрекетті орындау керек, тіпті егер бұл жақта бірнеше сан болса да. Төменде қараңыз:

Көбейту үшін бөліңіз. Мысалы: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6

Бөлу үшін көбейтіңіз. Мысалы: x/5 = 25 → x = 25 × 5

Қадам 4. Түбірді табу арқылы экспонентті алып тастаңыз (және керісінше)

Көрсеткіштер - бұл алгебраға дейінгі өте дамыған тақырып - егер сіз мұны қалай жасау керектігін білмесеңіз, қосымша ақпарат алу үшін негізгі экспоненциалды мақаланы қараңыз. Көрсеткіштің «кері» мәні - дәреже көрсеткішімен бірдей болатын түбір. Мысалы, көрсеткіштің өзара кері қатынасы ² - квадрат түбір (√), көрсеткіштің кері мәні ³ текше түбірі (³), және тағы басқа.

Бұл сәл шатасуы мүмкін, бірақ бұл жағдайда сіз экспонентпен жұмыс кезінде екі жақтың да тамырларын іздейсіз. Басқаша айтқанда, сіз түбірмен жұмыс істеген кезде екі жақтың экспоненциясын жасайсыз. Төменде қараңыз:

Көрсеткіш үшін түбірді табыңыз. Мысалы: x² = 49 → x = √49

Тамыр үшін көтеріңіз. Мысалы: x = 12 → x = 12²

5 бөлімнің 4 бөлігі: Алгебра дағдыларыңызды шыңдаңыз

Қадам 1. Сұрақтарды түсінікті ету үшін суреттерді қолданыңыз

Егер сізде алгебра мәселесін елестету қиын болса, теңдеуді көрсету үшін диаграмма немесе сурет қолданып көріңіз. Егер сізде бар болса, сіз физикалық объектілерді (мысалы, блоктар немесе монеталар) қолдануға тырысуға болады.

Мысалы, x + 2 = 3 теңдеуін (☐) квадратының көмегімен шешейік.

x +2 = 3

☒+☐☐ =☐☐☐

Бұл қадамда екі жақтан 2 квадратты (☐☐) алып тастап, екі жағынан 2 -ні шығарамыз:

☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐

= ☐ немесе x =

1 -қадам.
Басқа мысал ретінде 2x = 4 көрейік

☒☒ =☐☐☐☐

Бұл қадамда біз екі жағындағы қораптарды екі топқа бөлу арқылы бөлеміз:

☒|☒ =☐☐|☐☐

=, немесе х =

2 -қадам.

Қадам 2. «Ақылға қонымды тексерулерді» қолданыңыз (әсіресе әңгіме сұрақтары үшін)

Сюжеттік есептерді алгебраға түрлендіргенде, айнымалыларға қарапайым мәндерді енгізу арқылы формулаларды тексеруге тырысыңыз. Сіздің теңдеуіңіз x = 0 болғанда мағынасы бар ма? X = 1 болғанда? X = -1 болғанда? P = d/6 дегенді білдіргенде p = 6d жазудың қарапайым қатесін жасау оңай, бірақ егер сіз алға жылжудан бұрын өз жұмысыңызды тез, ақылға қонымды түрде тексерсеңіз, бұларды байқау оңай болады.

Мысалы, бізге футбол алаңының ені 30 м ұзын екенін айтады. Бұл мәселені шешу үшін p = l + 30 теңдеуін қолданамыз. Бұл теңдеудің мағынасы бар -жоғын l үшін қарапайым мәндерді енгізу арқылы тексере аламыз. Мысалы, егер өрістің ені l = 10 м болса, ұзындығы 10 + 30 = 40 м. Егер ені 30 м болса, ұзындығы 30 + 30 = 60 м және т.б. Бұл теңдеудің мағынасы бар - ені ұлғайған сайын бұл өрістің ұзындығы үлкен болады деп күтеміз, сондықтан бұл теңдеу мағынасы бар

Қадам 3. Жауаптар алгебрада әрқашан бүтін сандар бола бермейтінін ескеріңіз

Алгебра мен басқа да жетілдірілген формадағы жауаптар әрқашан қарапайым емес, дөңгелек сандар. Бұл сан ондық, бөлшек немесе иррационал сан болуы мүмкін. Калькулятор сізге бұл күрделі жауаптарды табуға көмектеседі, бірақ мұғалім сізден жауаптарды күрделі ондық бөлшек түрінде емес, дәл түрде жазуды талап етуі мүмкін екенін есте сақтаңыз.

Мысалы, алгебралық теңдеуді x = 1250 -ге дейін жеңілдетеміз⁷. Егер біз 1250 жылы терсек⁷ калькуляторда біз ондық бөлшектерді аламыз (сонымен қатар, калькулятордың экраны үлкен емес болғандықтан, калькулятор барлық жауаптарды көрсете алмайды.) Бұл жағдайда біз өз жауабымызды 1250 деп жазғымыз келуі мүмкін.⁷ немесе жауабын ғылыми белгіге жазу арқылы жеңілдетіңіз.

4 -қадам. Егер сіз негізгі алгебрадан сенімді болсаңыз, факторингті қолданып көріңіз

Барлығының ең күрделі алгебралық қабілеттерінің бірі факторинг - күрделі теңдеулерді қарапайым формаларға айналдырудың бір түрі. Факторинг-бұл жартылай дамыған алгебра тақырыбы, сондықтан оны меңгеруде қиындықтар туындаса, жоғарыда көрсетілген мақаладан кеңес алуды қарастырыңыз. Төменде факторингтік теңдеулерге арналған бірнеше кеңестер берілген:

Ax + ba түріндегі теңдеу a (x + b) формуласына қосылады. Мысалы: 2x + 4 = 2 (x + 2)
Балта формасының теңдеуі² + bx cx ((a/c) x + (b/c)) -ке есептеледі, мұнда c - a мен b -ны біркелкі бөле алатын ең үлкен сан. Мысалы: 3ж² + 12ж = 3ж (у + 4)
Х түріндегі теңдеу² + bx + c (x + y) (x + z) есептеледі, мұнда y × z = c және yx + zx = bx. Мысалы: x² + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).

Қадам 5. Жаттығу, жаттығу және жаттығу

Алгебрадағы прогресс (және математиканың басқа түрлері) көп еңбекті және қайталауды қажет етеді. Уайымдамаңыз - сабаққа назар аударып, барлық тапсырмаларды орындап, қажет болған кезде мұғаліміңізден немесе басқа оқушыларыңыздан көмек сұрай отырып, алгебра әдетке айнала бастайды.

Қадам 6. Мұғалімнен күрделі алгебралық тақырыптарды түсінуге көмектесуін сұраңыз

Егер сізде алгебраны түсіну қиын болса, алаңдамаңыз - оны жалғыз үйренудің қажеті жоқ. Сіздің сұрақтарыңызға бірінші кезекте мұғалім жүгінуі керек. Сабақтан кейін мұғалімнен сыпайы түрде көмек сұраңыз. Жақсы мұғалім, әдетте, сабақтан кейінгі кездесуде күннің тақырыбын қайта түсіндіруге дайын болады және сіздің мұғалім сізге қосымша практикалық материалдар бере алады.

Егер қандай да бір себептермен мұғалім сізге көмектесе алмаса, одан сіздің мектепте оқудың қосымша нұсқалары туралы сұраңыз. Көптеген мектептерде алгебраны меңгеруді бастау үшін қосымша уақыт пен көңіл бөлуге көмектесетін мектептен кейінгі бағдарлама бар. Есіңізде болсын, қол жетімді ақысыз көмекті пайдалану - ұятқа қалмайтын нәрсе - бұл сіздің мәселеңізді шешуге жеткілікті ақылды екеніңіздің белгісі

5/5 бөлімі: Аралық тақырыптарды зерттеу

Қадам 1. x/y теңдеуінің графигін салуды үйреніңіз

Графтар алгебраның құнды құралы бола алады, себебі олар сандарды қажет ететін ойларды түсінікті суреттер түрінде беруге мүмкіндік береді. Әдетте, бастаушы алгебрада графикалық есептер екі айнымалысы бар теңдеулермен шектеледі (әдетте х пен у) және осі мен уі осі бар қарапайым 2-D графиктерде бейнеленеді. Бұл теңдеулердің көмегімен сіз тек x мәнін енгізіңіз, содан кейін графикте нүктеге айналатын екі санды алу үшін у іздеңіз (немесе керісінше).

Мысалы, y = 3x теңдеуінде, егер x үшін 2 енгізсек, y = 6 аламыз. Бұл нүктені білдіреді (2, 6) (графиктің ортасынан оңға қарай екі қадам және графиктің ортасынан алты қадам жоғары) - бұл теңдеудің графигінің бөлігі.
Y = mx + b түріндегі теңдеулер (мұнда m және b - сандар) негізгі алгебрада өте жиі кездеседі. Бұл теңдеулерде әрқашан градиент m немесе көлбеу болады және у осі y = b кезінде қиылысады.

Қадам 2. Теңсіздіктерді шешуді үйреніңіз

Егер теңдеуде теңдік белгісі болмаса не істеу керек? Белгілі болғандай, бұл әдеттегіден айтарлықтай ерекшеленбейді. > («Үлкен») және <(«кіші») сияқты белгілерді қолданатын теңсіздіктерді әдеттегідей шешіңіз. Сіз айнымалы мәннен аз немесе үлкен жауап қалдырасыз.

Мысалы, 3> 5x - 2 теңдеуімен біз оны қарапайым теңдеудегідей шешеміз:

3> 5x - 2

5> 5x

1> x немесе x <1.
Бұл кез келген бір саннан кіші сан x мәні бола алатынын білдіреді. Басқаша айтқанда, х 0, -1, -2 және т.б. болуы мүмкін. Егер біз бұл сандарды x теңдеуіне қосатын болсақ, біз әрқашан 3 -тен төмен жауап аламыз.

3 -қадам. Квадрат теңдеулермен жұмыс

Жаңадан бастаушыларға қиындық тудыруы мүмкін алгебралық тақырыптардың бірі - квадрат теңдеулерді шешу. Квадрат - бұл балта түріндегі теңдеу² + bx + c = 0, мұндағы a, b және c - сандар (a 0 -ден басқа болмайды). Бұл теңдеулер x = [-b +/- (b) формуласымен шешіледі² - 4ac)]/2a. Сақ болыңыз - +/- белгісі сізге осы сұрақтарға екі жауап алу үшін қосу мен азайтудың жауаптарын табу керек дегенді білдіреді.

Мысалы, 3х квадрат формуланы шешейік² + 2x -1 = 0.

x = [-b +/- (б² - 4ac)]/2a

x = [-2 +/- (2² - 4(3)(-1))]/2(3)

x = [-2 +/- (4- (-12))]/6

x = [-2 +/- (16)]/6

x = [-2 +/- 4]/6

x = - 1 және 1/3

4 -қадам. Теңдеулер жүйесімен тәжірибе жасаңыз

Бір уақытта бірнеше теңдеуді шешу өте күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ қарапайым алгебралық теңдеулермен жұмыс жасағанда, бұл қиын емес. Көбінесе алгебра мұғалімдері бұл есептерді шешуде графикалық әдісті қолданады. Сіз екі теңдеулер жүйесімен жұмыс жасағанда, шешімдер графиктің екі теңдеудің сызықтары қиылысатын нүктелері болып табылады.

Мысалы, біз y = 3x -2 және y = -x -6 теңдеулері бар жүйемен жұмыс жасаймыз. Егер осы екі сызықты графикке салсақ, біз тік бұрышпен көтерілетін бір түзуді аламыз. тік бұрышпен төмен түседі. жұмсақ бұрыш. Өйткені бұл сызықтар нүктеде қиылысады (-1, -5), онда бұл нүкте осы жүйенің шешімі болып табылады.
Егер біз өз мәселемізді тексергіміз келсе, біз мұны жүйенің теңдеуіне қосу арқылы жасай аламыз - дұрыс жауап екі теңдеуге де «дұрыс» болады.

y = 3x - 2

-5 = 3(-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

y = -x - 6

-5 = -(-1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5
Екі теңдеу де «тексерілген», сондықтан біздің жауабымыз дұрыс!

Кеңестер

Алгебраны интернеттен үйренуге арналған көптеген ресурстар бар. Мысалы, іздеу жүйесінде «алгебралық формулаларды» іздеңіз. Көптеген керемет нәтижелер болады. Сондай -ақ, wikiHow математикалық мақалаларды таңдауға тырысуға болады. Ақпарат көп, сондықтан зерттеуді қазірден бастаңыз!
Алгебра жаңадан бастаушыларға арналған тамаша сайт - Khanacademy.com. Бұл ақысыз сайт әр түрлі тақырыптарда, соның ішінде алгебра бойынша ондаған қарапайым сабақтарды ұсынады. Бұл тақырыптардың барлығына арналған видеолар бар, өте қарапайым негіздерден университет деңгейіндегі озық тақырыптарға дейін. Сондықтан Хан Академиясының материалдарын зерттеуден және сайт ұсынатын барлық көмектерді пайдаланудан қорықпаңыз!
Алгебраны үйренуге тырысқанда сіздің ең жақсы ресурстарыңыз жақсы білетін адамдар екенін ұмытпаңыз. Достарыңыздан немесе сыныптастарыңыздан сіз түсінбеген соңғы сабақ туралы сұраңыз.