Үшмүше - бұл үш мүшеден тұратын алгебралық өрнек. Сірә, сіз квадрат үшмүшені факторға айналдыруды үйрене бастайсыз, бұл балта түрінде жазылған үшмүшені білдіреді2 + bx + c. Үйренуге болатын бірнеше амалдар бар, оларды квадрат үшмүшелердің әр түрлі түрлерінде қолдануға болады, бірақ сіз оларды тәжірибеде жақсы және жылдам қолдана аласыз. X тәрізді терминдері бар жоғары ретті полиномдар3 немесе x4, әрқашан бірдей шешілмейді, бірақ сіз оны кез келген басқа квадрат формула сияқты шешуге болатын мәселеге айналдыру үшін жиі қарапайым факторингті немесе алмастыруды қолдана аласыз.
Қадам
3 әдіс 1: факторинг x2 + bx + c
Қадам 1. PLDT көбейтуді үйреніңіз
Сіз (x+2) (x+4) сияқты өрнектерді көбейту үшін PLDT немесе «Бірінші, Сыртта, Ішінде, Соңғы» дегенді көбейтуді үйренген боларсыз. Бұл көбейтудің қалай жұмыс істейтінін білу пайдалы:
- Тайпаларды көбейту Бірінші: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
Тайпаларды көбейту Сыртта: (x+2) (x+
4 -қадам.) = x2+ 4x + _
-
Тайпаларды көбейту In: (x+
2 -қадам.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
Тайпаларды көбейту Финал: (x+
2 -қадам.) (x
4 -қадам.) = x2+4x+2x
8 -қадам.
- Жеңілдету: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Қадам 2. Факторингті түсіну
PLDT әдісін қолдана отырып, екі биномалды көбейткенде, сіз а х түрінде үшмүшені (үш мүшесі бар өрнек) аласыз.2+ b x+ c, мұндағы a, b және c - жай сандар. Егер сіз формасы бірдей теңдеуден бастасаңыз, оны қайтадан екі биномаға бөлуге болады.
- Егер теңдеулер осы ретпен жазылмаған болса, онда теңдеулерді олардың реті болатындай етіп реттеңіз. Мысалы, қайта жазу 3x - 10 + x2 Болады x2 + 3x - 10.
- Өйткені ең жоғары қуат - 2 (x2, өрнектің бұл түрі квадраттық деп аталады.
Қадам 3. Жауап үшін PLDT көбейту түрінде бос орын қалдырыңыз
Әзірге тек жазыңыз (_ _)(_ _) жауабын қайда жазасыз. Біз оны жұмыс кезінде толтырамыз
Бос терминдердің арасына + немесе - жазбаңыз, себебі біз әлі дұрыс таңбаны білмейміз
Қадам 4. Бірінші мүшелерді толтырыңыз
Қарапайым есептер үшін сіздің триномиалдың бірінші мүшесі - тек x2, Бірінші позициядағы терминдер әрқашан болады x және x. Бұл х терминінің факторлары2 себебі х рет х = х2.
- Біздің мысал x2 + 3x - 10 x -тен басталады2, сондықтан біз жаза аламыз:
- (x _) (x _)
- Біз келесі бөлімде 6x сияқты терминдерден басталатын триномиалдарды қоса алғанда, күрделі мәселелермен жұмыс жасаймыз2 немесе -x2. Осы уақытта осы үлгі сұрақтарды орындаңыз.
Қадам 5. Соңғы терминдерді анықтау үшін факторингті қолданыңыз
Егер сіз қайтып оралсаңыз және PLDT -ті көбейту бойынша қадамдарды оқысаңыз, онда соңғы мүшелерді көбейту полиномдағы соңғы мүшені шығаратынын көресіз (х жоқ терминдер). Фактор жасау үшін біз көбейткенде соңғы мүшені шығаратын екі санды табуымыз керек.
- Біздің мысалда x2 + 3x - 10, соңғы тоқсан -10.
- -10 факторлары қандай? -10 -ға қандай сан көбейтіледі?
- Бірнеше мүмкіндік бар: -1 рет 10, 1 рет -10, -2 есе 5, немесе 2 есе -5. Бұл жұптарды есте сақтау үшін бір жерге жазыңыз.
- Біздің жауабымызды әлі өзгертпеңіз. Біздің жауап әлі де келесідей болуы керек: (x _) (x _).
6 -қадам. Сыртқы және ішкі өнімге сәйкес келетін мүмкіндіктерді тексеріңіз
Біз соңғы шарттарды бірнеше мүмкіндіктерге дейін қысқарттық. Сыртқы және ішкі терминдерді көбейтіп, өнімді үшміндікпен салыстыра отырып, барлық мүмкіндікті тексеру үшін сынақ жүйесін қолданыңыз. Мысалға:
- Біздің бастапқы мәселеде «x» термині 3x болды, сондықтан біздің тест нәтижелері осы терминге сәйкес келуі керек.
- -1 және 10 сынақтары: (x -1) (x+10). Сыртта + Ішінде = 10x - x = 9x. Қате.
- 1 және -10 сынақтары: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Бұл қате. Шын мәнінде, егер сіз -1 және 10 сынақтарын өткізсеңіз, онда 1 мен -10 жоғарыдағы жауапқа қарама -қарсы екенін білесіз: 9х орнына -9x.
- -2 және 5 сынақтары: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Нәтиже бастапқы көпмүшеге сәйкес келеді, сондықтан дұрыс жауап: (x-2) (x+5).
- Осындай қарапайым жағдайларда, егер сізде x терминінің алдында тұрақты шамасы болмаса2, сіз жылдам әдісті қолдана аласыз: екі факторды қосып, артына «x» қойыңыз (-2+5 → 3x). Алайда, бұл әдіс күрделі есептер үшін жұмыс істемейді, сондықтан жоғарыда сипатталған «ұзақ жолды» есте ұстаған жөн.
3 -ші әдіс 2: Күрделі триномиальды факторинг
Қадам 1. Күрделі есептерді жеңілдету үшін қарапайым факторингті қолданыңыз
Мысалы, сіз факторлауға тиіссіз 3x2 + 9х30. Барлық үш терминге әсер ететін санды табыңыз («ең үлкен ортақ фактор» немесе GCF). Бұл жағдайда GCF 3:
- 3x2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Осылайша, 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Біз жаңа триномиалды факторды жоғарыдағы бөлімдегі қадамдарды қолдана отырып анықтай аламыз. Біздің соңғы жауабымыз болады (3) (x-2) (x+5).
Қадам 2. Неғұрлым күрделі факторларды іздеңіз
Кейде факторинг айнымалыны қамтуы мүмкін немесе мүмкін болатын қарапайым өрнекті табу үшін бірнеше рет фактор жасау қажет болуы мүмкін. Міне, бірнеше мысалдар:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2 жыл)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- Жаңа триномиалды реформалауды ұмытпаңыз, 1 -әдіс бойынша. Өз жұмысыңызды тексеріңіз және осы беттің төменгі жағындағы сұрақ сұрақтарынан ұқсас мәселелердің мысалын іздеңіз.
3 -қадам. Х -тың алдындағы санға есептер шығару2.
Кейбір квадрат үшмүшелерді есептің ең қарапайым түріне келтіру мүмкін емес. 3x сияқты есептерді шығаруды үйреніңіз2 + 10x + 8, содан кейін осы беттің төменгі жағындағы сұрақтардың үлгісімен өз бетіңізше жаттығыңыз:
- Біздің жауапты келесідей етіп орнатыңыз: (_ _)(_ _)
- Біздің «Бірінші» терминдердің әрқайсысында бір x болады, және оларды көбейту 3x береді2. Бір ғана мүмкіндік бар: (3x _) (x _).
- 8 коэффициенттерін көрсетіңіз. Коэффициенттер 1 есе 8 немесе 2 есе 4.
- Бұл мүмкіндікті сыртқы және ішкі терминдерді қолдана отырып тексеріңіз. Факторлардың реті өте маңызды екенін ескеріңіз, себебі Сыртқы мүше х орнына 3 есе көбейтіледі. Out+In = 10x (бастапқы мәселеден) шыққанша барлық мүмкіндікті қолданып көріңіз:
- (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x жоқ
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x жоқ
- (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x жоқ
- (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x иә. Бұл дұрыс фактор.
Қадам 4. Жоғары реттік үшбұрыштарды алмастыруды қолданыңыз
Сіздің математикалық кітабыңыз сізді x сияқты жоғары қуатты теңдеулермен таң қалдыруы мүмкін4, мәселені жеңілдету үшін қарапайым факторингті қолданғаннан кейін де. Сіз білетін мәселеге айналдыратын жаңа айнымалы мәнді алмастырып көріңіз. Мысалға:
- x5+13x3+36x
- = (x) (x4+13x2+36)
- Жаңа айнымалыны құрайық. Y = x дейік2 және оны салыңыз:
- (x) (ж2+13ж+36)
- = (x) (y+9) (y+4). Енді оны бастапқы айнымалыға қайта айналдырыңыз:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
3 -ші әдіс 3: Арнайы жағдайларды факторинг
1 -қадам. Жай сандарды табыңыз
Үшбұрыштың бірінші немесе үшінші мүшесіндегі тұрақтылық жай сан екенін білу үшін қараңыз. Жай сан тек өзіне бөлінеді және 1, сондықтан биномальды факторлардың бір ғана мүмкін жұбы бар.
- Мысалы, х2 + 6x + 5, 5 - жай сан, сондықтан бином (_ 5) (_ 1) түрінде болуы керек.
- 3x есебінде2+10x+8, 3 - жай сан, сондықтан бином (3x _) (x _) формасында болуы керек.
- 3х сұрақтар бойынша2+4x+1, 3 те, 1 де жай сандар, сондықтан мүмкін болатын жалғыз шешім (3x+1) (x+1). (Жауапты тексеру үшін сіз бұл санды әлі де көбейтуіңіз керек, себебі кейбір өрнектер фактураланбайды - мысалы, 3x2+100x+1 факторы жоқ.)
Қадам 2. Үшмүшенің мінсіз квадрат екенін біліңіз
Мінсіз квадрат үшмүшені екі бірдей биномаға бөлуге болады және коэффициент әдетте (x+1) түрінде жазылады2 және (x+1) (x+1) емес. Міне, сұрақтарда жиі кездесетін мысалдар:
- x2+2x+1 = (x+1)2және x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2және x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2және x2-6x+9 = (x-3)2
- A x түріндегі мінсіз шаршы үшбұрыш2 + bx + c әрқашан a және c мүшелері болады, олар оң мінсіз квадраттар (мысалы, 1, 4, 9, 16 немесе 25) және бір b мүшесі (оң немесе теріс) 2 -ге тең (√a * √c).
Қадам 3. Мәселенің шешімі жоқ екенін біліңіз
Барлық триномиалдарды факторға бөлу мүмкін емес. Егер сіз квадрат үшмүшені есептей алмасаңыз (балта2+bx+c), жауапты табу үшін квадрат формуланы қолданыңыз. Егер жалғыз жауап теріс санның квадрат түбірі болса, онда нақты санның шешімі жоқ, онда мәселенің факторлары жоқ.
Үшбұрышты емес үшбұрыштар үшін кеңестер бөлімінде сипатталған Эйзенштейн критерийін қолданыңыз
Сұрақтар мен жауаптар
-
«Күрделі факторинг» сұрақтарына жауаптар.
Бұл «күрделі факторлар» қадамының сұрақтары. Біз проблемаларды жеңілдетіп қойдық, сондықтан оларды 1 -әдіс бойынша шешуге тырысыңыз, содан кейін жұмысыңызды мына жерден тексеріңіз:
- (2 ж) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
Факторингтің күрделі есептерін қолданып көріңіз.
Бұл проблемалардың әр тоқсанда бірдей факторы бар, ол алдымен ескерілуі тиіс. Жауаптарды көру үшін теңдік белгісінен кейін бос орындарды бұғаттаңыз, осылайша сіз өз жұмысыңызды тексере аласыз:
- 3x3+3х2-6x = (3x) (x+2) (x-1) жауабын көру үшін бос орынды жабады
- -5x3ж2+30х2ж2-25ж2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
Сұрақтарды қолдануға жаттығу. Бұл есептерді қарапайым теңдеулерге жатқызуға болмайды, сондықтан жауапты (_x + _) (_ x + _) түрінде сынау мен қатені қолдана отырып табу керек:
- 2x2Жауапты көру үшін+3x-5 = (2x+5) (x-1) блогы
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Нұсқау: Сіз 9х үшін бірнеше факторлық жұпты қолданып көргіңіз келуі мүмкін.)
Кеңестер
- Егер сіз квадрат үшмүшені (балта) қалай факторлауға болатынын білмесеңіз2+bx+c), х -ты табу үшін квадрат формуланы қолдануға болады.
-
Мұны қалай жасау керектігін білудің қажеті жоқ болса да, сіз көпмүшені жеңілдетуге және фактуралауға болмайтынын жылдам анықтау үшін Эйзенштейн критерийлерін қолдана аласыз. Бұл критерий кез келген көпмүшеге қатысты, бірақ үшмүшелер үшін жақсы қолданылады. Егер соңғы екі мүшені біркелкі бөлетін және келесі шарттарды қанағаттандыратын р жай саны болса, онда көпмүшені жеңілдетуге болмайды:
- Тұрақты мүшелер (айнымалыларсыз) - бұл р еселігі, бірақ р - ге еселігі емес2.
- Префикс (мысалы, балтада2+bx+c) - р -ның еселігі емес.
- Мысалы, 14 есе2 +45x +51 оңайлатуға болмайды, себебі 45 пен 51 -ге бөлінетін, бірақ 14 -ке бөлінбейтін және 3 -ке бөлінбейтін жай сан (3) бар.2.
Ескерту
Бұл квадрат үшмүшелерге қатысты болса да, фактураланатын үшмүше міндетті түрде екі биномияның туындысы болып табылмайды. Мысалы, x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
