Көпмүшеде дәрежесі деп аталатын дәрежесі бар айнымалы (x) және бірнеше мүшелері және/немесе тұрақтылары бар. Көпмүшені көбейту үшін теңдеуді көбейтуге болатын қарапайым теңдеуге бөлуді білдіреді. Бұл дағды алгебра 1 және одан жоғары, егер сіздің математикалық дағдыларыңыз бұл деңгейде болмаса, түсіну қиын болуы мүмкін.
Қадам
Бастау
Қадам 1. Теңдеуді орнатыңыз
Квадрат теңдеудің стандартты форматы:
балта2 + bx + c = 0
Теңдеудегі терминдерді ең жоғарыдан ең төменгі деңгейге дейін тапсырыс беруден бастаңыз, дәл осы стандартты форматта. Мысалға:
6 + 6x2 + 13x = 0
Терминдерді жылжыту арқылы жұмыс істеу оңай болу үшін біз бұл теңдеуді қайта реттейміз:
6x2 + 13x + 6 = 0
Қадам 2. Келесі әдістердің бірін қолданып форма факторын табыңыз
Көпмүшені факторизациялау нәтижесінде қарапайым көпмүшені алу үшін көбейтуге болатын екі қарапайым теңдеу шығады:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Бұл мысалда (2x + 3) және (3x + 2) бастапқы теңдеудің коэффициенттері, 6x2 +13x+6.
3 -қадам. Жұмысыңызды тексеріңіз
Сізде бар факторларды көбейтіңіз. Содан кейін терминдерді біріктіріңіз және сіз аяқтадыңыз. Бастаңыз:
(2x + 3) (3x + 2)
Келіңіздер, PLDT көмегімен терминдерді көбейтуге тырысайық (бірінші - сыртта - ішінде - соңғы), нәтижесінде:
6x2 + 4x + 9x + 6
Осы жерден біз 4x пен 9x қосамыз, себебі олар терминдер сияқты. Біз факторлардың дұрыс екенін білеміз, себебі біз бастапқы теңдеуді аламыз:
6x2 + 13x + 6
6 -ның 1 әдісі: Сынақ және қате
Егер сізде қарапайым көпмүшелік болса, факторларды оларға қарап -ақ өзіңіз таба аласыз. Мысалы, тәжірибеден кейін көптеген математиктер 4х теңдеуін анықтай алады2 + 4x + 1 -де (2x + 1) және (2x + 1) коэффициенті бар, оған жиі қарауға болады. (Бұл күрделі полиномдар үшін әрине оңай болмайды). Бұл мысал үшін азырақ қолданылатын теңдеуді қолданайық:
3x2 + 2x - 8
Қадам 1. а және с сандарының факторларының тізімін жазыңыз
Балта теңдеуінің форматын қолдану2 + bx + c = 0, а және с терминдерін анықтап, екі терминнің де факторларын жаз. 3х үшін2 + 2x - 8, мағынасы:
a = 3 және факторлар жиынтығы бар: 1 * 3
c = -8 және төрт факторлар жиынтығы бар: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 және -1 * 8.
Қадам 2. Бос орындары бар жақшалардың екі жиынтығын жазыңыз
Сіз жасаған бос орындарды әр теңдеу үшін тұрақтылармен толтырасыз:
(x) (x)
3 -қадам. Х -тың алдындағы бос орындарды а мәнінің мүмкін болатын жұп факторларымен толтырыңыз
Біздің мысалдағы а термині үшін 3x2, біздің мысал үшін бір ғана мүмкіндік бар:
(3x) (1x)
4 -қадам. Тұрақты мән үшін х факторынан кейін екі бос орынды толтырыңыз
Біз 8 мен 1 -ді таңдайық делік. Оларға жазыңыз:
(3x
8 -қадам.)(
1 -қадам
Қадам 5. x айнымалысы мен санының арасындағы белгіні (плюс немесе минус) анықтаңыз
Бастапқы теңдеудегі белгілерге байланысты тұрақтылардың белгілерін іздеуге болады. Екі фактор үшін h және k екі тұрақтысын атаймыз делік:
Егер балта2 + bx + c содан кейін (x + h) (x + k)
Егер балта2 - bx - c немесе балта2 + bx - c содан кейін (x - h) (x + k)
Егер балта2 - bx + c содан кейін (x - h) (x - k)
Біздің мысал үшін 3x2 + 2x - 8, белгілері: (x - h) (x + k), бізге екі фактор береді:
(3x + 8) және (x - 1)
Қадам 6. Таңдауды біріншіден соңына көбейту (PLDT) көмегімен тексеріңіз
Бірінші жылдам тест - бұл орта буын кем дегенде дұрыс мәнге ие екенін тексеру. Олай болмаған жағдайда, сіз қате с факторларын таңдаған боларсыз. Жауапты тексерейік:
(3x + 8) (x - 1)
Көбейту арқылы біз мынаны аламыз:
3x2 - 3x + 8x - 8
(-3x) және (8x) ұқсас терминдерді қосу арқылы бұл теңдеуді жеңілдете отырып, біз мынаны аламыз:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Енді біз дұрыс емес факторларды қолданғанымызды білеміз:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Қадам 7. Қажет болса, таңдауды өзгертіңіз
Біздің мысалда 1 және 8 емес, 2 мен 4 -ті қолданып көрейік:
(3x + 2) (x - 4)
Енді біздің с терминіміз -8, бірақ біздің сыртқы/ішкі өніміміз (3x * -4) және (2 * x) -12x және 2x, олар дұрыс b +2x мүшесін бермейді.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Қадам 8. Қажет болса, ретті өзгертіңіз
2 мен 4 -ті ауыстыруға тырысайық:
(3x + 4) (x - 2)
Енді біздің c термині (4 * 2 = 8) дұрыс, бірақ сыртқы/ішкі өнім -6x және 4x. Егер біз оларды біріктіретін болсақ:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Біз іздеген 2x -ке өте жақынбыз, бірақ белгі дұрыс емес.
Қадам 9. Қажет болса, тегтеріңізді екі рет тексеріңіз
Біз сол тәртіпті қолданамыз, бірақ минус белгісі бар теңдеулерді ауыстырамыз:
(3x - 4) (x + 2)
Енді с термині проблема емес, ал сыртқы/ішкі өнім-(6x) және (-4x). Себебі:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Енді біз бастапқы есептен оң 2x қолдана аламыз. Бұл дұрыс факторлар болуы керек.
6 әдіс 2: ыдырау
Бұл әдіс а және с терминдерінің барлық мүмкін факторларын анықтайды және оларды дұрыс факторларды табу үшін қолданады. Егер сандар тым үлкен болса немесе болжау уақытты қажет ететін болса, бұл әдісті қолданыңыз. Мысал келтірейік:
6x2 + 13x + 6
1 -қадам. А мүшесін с мүшесіне көбейт
Бұл мысалда а - 6, с - 6.
6 * 6 = 36
Қадам 2. Факторинг пен тестілеу арқылы b терминін алыңыз
Біз а * с өнімінің факторлары болып табылатын екі санды іздейміз, сонымен қатар b (13) терминіне қосамыз.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3 -қадам. B мүшесін қосу нәтижесінде теңдеуіңізге алынған екі санды қойыңыз
Бізде 4 және 9 бар екі санды көрсету үшін k және h таңбаларын қолданайық:
балта2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Қадам 4. Көпмүшені топтастыру арқылы факторла
Теңдеулерді бірінші және екінші мүшелердің ең үлкен ортақ коэффициентін алатындай етіп орналастырыңыз. Факторлар тобы бірдей болуы керек. Ең үлкен ортақ факторды қосыңыз және оны жақшаға факторлар тобының жанына қойыңыз; нәтиже сіздің екі факторыңыз:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
6 -ның 3 әдісі: үштік ойын
Декомпозиция әдісіне ұқсас үштік ойын әдісі a және c мүшелерін көбейтудің және b мәнін қолданудың мүмкін факторларын зерттейді. Мына теңдеуді қолданып көріңіз:
8x2 + 10x + 2
1 -қадам. А мүшесін с мүшесіне көбейт
Талдау әдісі сияқты, бұл бізге b мерзіміне үміткерлерді анықтауға көмектеседі. Бұл мысалда а - 8, с - 2.
8 * 2 = 16
2 -қадам. Сандарға көбейтілгенде осы санды шығаратын екі санды табыңыз, олардың қосындысы b мүшесіне тең
Бұл қадам талдаумен бірдей - біз тұрақтыға үміткерлерді тексереміз және тастаймыз. A және c мүшелерінің көбейтіндісі 16 -ға, ал с -мүшесі 10 -ға тең:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Қадам 3. Осы екі санды алыңыз және оларды үштік ойын формуласына қосу арқылы тексеріңіз
Алдыңғы қадамнан біздің екі нөмірді алыңыз - h және k деп атайық - және оларды теңдеуге қосыңыз:
((ax + h) (ax + k))/ a
Біз аламыз:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Қадам 4. Есептеушідегі екі мүшенің кез келгені а -ға бөлінетінін ескеріңіз
Бұл мысалда біз (8x + 8) немесе (8x + 2) 8 -ге бөлінетінін көрдік. (8x + 8) 8 -ге бөлінеді, сондықтан біз бұл терминді а -ға бөліп, басқа факторларды жалғыз қалдырамыз.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Мұндағы жақша ішіндегі термин - а мүшесіне бөлгеннен кейін қалған нәрсе.
Қадам 5. Егер бар болса, бір немесе екі терминнің ең үлкен ортақ факторын (GCF) алыңыз
Бұл мысалда, екінші тоқсанда GCF 2 бар, себебі 8x + 2 = 2 (4x + 1). Бұл нәтижені алдыңғы қадамнан алған терминмен біріктіріңіз. Бұл сіздің теңдеудегі факторлар.
2 (x + 1) (4x + 1)
6 -ның 4 әдісі: Квадрат түбірлердің айырмашылығы
Көпмүшеліктердегі кейбір коэффициенттер «квадрат» немесе екі санның көбейтіндісі болуы мүмкін. Бұл квадраттарды анықтау бірнеше көпмүшені тезірек көбейтуге мүмкіндік береді. Мына теңдеуді қолданып көріңіз:
27x2 - 12 = 0
Қадам 1. Мүмкін болса, ең үлкен ортақ факторды шығарыңыз
Бұл жағдайда біз 27 мен 12 -нің 3 -ке бөлінетінін көре аламыз, сондықтан мынаны аламыз:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Қадам 2. Сіздің теңдеудің коэффициенттері квадрат сандар екенін анықтаңыз
Бұл әдісті қолдану үшін екі терминнің де түбірін алу қажет. (Назар аударыңыз, біз теріс таңбаны елемейміз - себебі бұл сандар квадрат болғандықтан, олар екі оң немесе теріс санның туындысы болуы мүмкін)
9x2 = 3x * 3x және 4 = 2 * 2
Қадам 3. Квадрат түбірін пайдаланып, факторларды жазыңыз
Біз а және с мәндерін жоғарыдағы қадамнан аламыз - a = 9 және c = 4, содан кейін түбірін табамыз - a = 3 және c = 2. Нәтиже фактор теңдеуінің коэффициенті:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
6 -ның 5 әдісі: Квадраттық формула
Егер бәрі орындалмаса және теңдеуді бүтіндеу мүмкін болмаса, квадрат формуланы қолданыңыз. Мына мысалды қолданып көріңіз:
x2 + 4x + 1 = 0
Қадам 1. Квадрат формулаға қажетті мәндерді енгізіңіз:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2а
Біз теңдеуді аламыз:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
2 -қадам. Х мәнін табыңыз
Сіз екі құндылықты аласыз. Жоғарыда көрсетілгендей, біз екі жауап аламыз:
x = -2 + (3) немесе x = -2 -(3)
Қадам 3. Факторларды табу үшін x мәнін пайдаланыңыз
Сіз алған x мәндерін екі көпмүшелік теңдеуге тұрақты ретінде қосыңыз. Нәтиже - сіздің факторларыңыз. Егер біз жауаптарымызды h және k деп атайтын болсақ, онда біз екі факторды былай жазамыз:
(x - h) (x - k)
Бұл мысалда біздің соңғы жауап:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
6 -ның 6 әдісі: Калькуляторды қолдану
Егер сізге калькуляторды қолдануға рұқсат етілсе, графикалық калькулятор факторинг процесін едәуір жеңілдетеді, әсіресе стандартты тесттер үшін. Бұл нұсқаулар TI графикалық калькуляторына арналған. Біз теңдеудің мысалын қолданамыз:
y = x2 x 2
Қадам 1. Калькуляторға теңдеуді енгізіңіз
Сіз экранда [Y =] деп жазылған теңдеудің факторингін қолданасыз.
2 -қадам. Калькулятордың көмегімен теңдеудің графигін салыңыз
Теңдеуді енгізгеннен кейін [GRAPH] түймесін басыңыз - сіз теңдеуіңізді білдіретін тегіс қисық көресіз (және формасы қисық, өйткені біз көпмүшелерді қолданамыз).
Қадам 3. Қисықтың х осімен қиылысатын орнын табыңыз
Көпмүшелік теңдеулер әдетте балта түрінде жазылатындықтан2 + bx + c = 0, бұл қиылысу теңдіктің нөлге тең болуына әкелетін х -тың екінші мәні:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Егер сіз графиктің осьпен қай жерде қиылысатынын анықтай алмасаңыз, [2], содан кейін [TRACE] басыңыз. [2] түймесін басыңыз немесе нөлді таңдаңыз. Курсорды қиылыстың сол жағына жылжытыңыз және [ENTER] басыңыз. Курсорды қиылыстың оң жағына жылжытып, [ENTER] басыңыз. Курсорды қиылысқа мүмкіндігінше жақындатыңыз және [ENTER] басыңыз. Калькулятор x мәнін табады. Мұны басқа жол қиылыстары үшін де жасаңыз
Қадам 4. Алдыңғы қадамнан алынған x мәнін екі факторлық теңдеуге қосыңыз
Егер біз x мәндерінің екеуін де h және k деп атаған болсақ, онда біз қолданатын теңдеулер:
(x - h) (x - k) = 0
Осылайша, біздің екі факторымыз:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Кеңестер
- Егер сізде TI-84 калькуляторы (графигі) болса, онда сіздің квадрат теңдеулерді шешетін SOLVER бағдарламасы бар. Бұл бағдарлама кез келген дәрежедегі полиномдарды шешеді.
- Егер термин жазылмаса, коэффициент 0 -ге тең. Егер бұлай болса, теңдеуді қайта жазу пайдалы, мысалы: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Егер сіз көпмүшені квадраттық формуланы қолдана отырып анықтасаңыз және түбірлер бойынша жауап алсаңыз, тексеру үшін x мәнін бөлшекке айналдырғыңыз келуі мүмкін.
- Егер терминнің жазбаша коэффициенті болмаса, коэффициент 1 болады, мысалы: x2 = 1x2.
- Жеткілікті жаттығудан кейін сіз ақыр соңында сіздің басыңыздағы көпмүшелерді факторлай аласыз. Сіз мұны істей алмайынша, әрқашан қалай істеу керектігін жазыңыз.
