Алгебралық теңдеулерді факторлаудың 3 әдісі

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-15 08:18

Математикада, факторинг көбейту кезінде берілген санды немесе теңдеуді шығаратын сандарды немесе өрнектерді табу әдісі. Факторинг - қарапайым алгебра есептерін шешуді үйренудің пайдалы дағдысы; квадрат теңдеулермен және көпмүшелердің басқа формаларымен жұмыс жасау кезінде жақсы факторлау қабілеті маңызды болады. Факторинг алгебралық өрнектерді жеңілдету үшін оларды шешуді жеңілдету үшін қолданылуы мүмкін. Факторинг тіпті сізге қолмен шешкеннен әлдеқайда тезірек кейбір ықтимал жауаптарды жою мүмкіндігін береді.

Қадам

3 -ші әдіс 1: Факторинг сандары және қарапайым алгебралық өрнектер

Қадам 1. Жалғыз сандарға қолданғанда факторингтің анықтамасын түсіну

Факторинг - бұл қарапайым түсінік, бірақ іс жүзінде күрделі теңдеулерге қолдану қиын болуы мүмкін. Факторинг түсінігіне қарапайым сандармен, содан кейін қарапайым теңдеулерге көшу арқылы, ең күрделі қосымшаларға көшпес бұрын қол жеткізуге болады. Санның факторлары - бұл көбейткенде санды шығаратын сандар. Мысалы, 12 коэффициенттері 1, 12, 2, 6, 3 және 4, себебі 1 × 12, 2 × 6 және 3 × 4 12 -ге тең.

• Ойланудың тағы бір тәсілі - санның факторлары санға біркелкі бөлінетін сандар.

• 60 санының барлық факторларын таба аласыз ба? Біз 60 санын әр түрлі мақсаттарда қолданамыз (сағаттағы минут, минуттағы секунд және т.

  60 коэффициенттері: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 және 60

2 -қадам. Айнымалы өрнектерді де факторға бөлуге болатынын түсініңіз

Сандардың өздері факторға алынатыны сияқты, сандар коэффициенттері бар айнымалыларды да факторландыруға болады. Ол үшін айнымалы коэффициенттердің факторларын табу жеткілікті. Айнымалыны факторлауды білу сол айнымалыға байланысты алгебралық теңдеулерді жеңілдету үшін өте пайдалы.

• Мысалы, 12x айнымалысын 12 және х факторларының туындысы ретінде жазуға болады. Біз 12x -ті 3 (4x), 2 (6x) және т.б. ретінде жаза аламыз, олардың 12 факторларының қайсысы біздің мақсатымызға сәйкес келеді.

  Біз тіпті 12 есе көп фактор жасай аламыз. Басқаша айтқанда, бізге 3 (4x) немесе 2 (6x) нүктесінде тоқтап қалудың қажеті жоқ - біз 3 (2 (2x) және 2 (3 (2x)) шығару үшін 4x пен 6x факторларын жасай аламыз. Әрине, бұл екі өрнек эквивалентті

Қадам 3. Көбейтудің үлестіруші қасиетін факторлық алгебралық теңдеулерге қолданыңыз

Жалғыз сандарды да, айнымалыларды да коэффициенттермен қалай бөлу керектігін біле отырып, алгебралық теңдеулерде сандар мен айнымалылардың ортақ факторларын табу арқылы қарапайым алгебралық теңдеулерді жеңілдетуге болады. Әдетте, теңдеуді жеңілдету үшін біз ең үлкен ортақ факторды табуға тырысамыз. Бұл жеңілдету процесі а, b және c кез келген санына қолданылатын көбейтудің үлестіру қасиетінің арқасында мүмкін болды. a (b + c) = ab + ac.

• Сұраққа мысал келтіріп көрейік. 12x + 6 алгебралық теңдеуін көбейту үшін алдымен 12x пен 6 -ның ең үлкен ортақ коэффициентін табуға тырысайық. 6 - 12x пен 6 -ны біркелкі бөле алатын ең үлкен сан, сондықтан теңдеуді 6 -ға (2x + 1) дейін жеңілдетуге болады..
• Бұл процесс теріс сандары мен бөлшектері бар теңдеулерге де қатысты. Мысалы, x/2 + 4, 1/2 (x + 8) дейін жеңілдетуге болады, ал -7x + -21 -7 -ге (x + 3) дейін есептеледі.

3 -тің 2 әдісі: Квадрат теңдеулерді факторинг

Қадам 1. Теңдеудің квадрат түрінде екеніне көз жеткізіңіз (ax² + bx + c = 0).

Квадрат теңдеулердің балта түрі бар² + bx + c = 0, мұнда a, b және c -санның тұрақтылары және 0 -ге тең емес (a can 1 немесе -1 -ге тең екенін ескеріңіз). Егер сізде бір немесе екі айнымалысы бар x айнымалысы бар бір айнымалысы бар (x) теңдеу болса, онда әдетте алгебралық амалдарды қолдана отырып, осы терминдерді теңдік белгісі мен балтаның екі жағында 0 алу үшін жылжытыңыз.²және т. басқа жағынан.

• Мысалы, алгебралық теңдеуді қарастырайық. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 -ді x -ке жеңілдетуге болады² + 6x + 9 = 0, бұл квадрат формасы.
• X сияқты үлкен қуаты бар теңдеулер³, x⁴және т. квадрат теңдеулер емес. Бұл теңдеулер кубалық теңдеулер болып табылады, төртінші дәрежеге дейін және т.

Қадам 2. Квадрат теңдеуде, мұнда а = 1, (x+d) (x+e) көбейткіші, мұнда d × e = c және d+e = b

Егер сіздің квадрат теңдеу x түрінде болса² + bx + c = 0 (басқаша айтқанда, х терминінің коэффициенті болса² = 1), теңдеуді анықтау үшін өте қарапайым стенографиялық әдісті қолдануға болады (бірақ кепілдік берілмейді). Көбейткенде с санын беретін екі санды табыңыз және b өндіруге қосылды. Осы екі d және e сандарын іздегеннен кейін оларды келесі өрнекке қойыңыз: (x+d) (x+e). Бұл екі термин көбейтілгенде сізге квадрат теңдеуін береді - басқаша айтқанда, бұл сіздің квадрат теңдеудің факторлары.

• Мысалы, x квадрат теңдеуін қарастырайық² + 5x + 6 = 0. 3 пен 2 көбейтіліп, 6 беріледі, сонымен қатар 5 беріледі, сондықтан біз бұл теңдеуді (x + 3) (x + 2) дейін жеңілдете аламыз.

• Бұл стенографияның негізгі әдісінің шамалы айырмашылығы ұқсастықтардың айырмашылығында жатыр:

  • Егер квадрат теңдеу х түрінде болса²-bx+c, сіздің жауабыңыз мына түрде: (x - _) (x - _).
  • Егер теңдеу х түрінде болса²+ bx + c, сіздің жауабыңыз келесідей: (x + _) (x + _).
  • Егер теңдеу х түрінде болса²-bx -c, сіздің жауабыңыз (x + _) (x -_) түрінде.
• Ескерту: бос орындардағы сандар бөлшек немесе ондық бөлшектер болуы мүмкін. Мысалы, x теңдеуі² + (21/2) x + 5 = 0 (x + 10) (x + 1/2) санына қосылады.

3 -қадам. Мүмкін болса, чектер арқылы есептеңіз

Сенесіз бе, сенбеңіз, күрделі емес квадрат теңдеулер үшін рұқсат етілген факторинг әдістерінің бірі - мәселені тексеру, содан кейін дұрыс жауапты тапқанша мүмкін болатын жауаптарды қарастырыңыз. Бұл әдіс емтихан арқылы факторинг ретінде де белгілі. Егер теңдеу ax түрінде болса²+bx +c және a> 1, сіздің факторлық жауабыңыз (dx +/- _) түрінде болады (мысалы, +/- _), мұнда d және e- нөлден басқа сандардың тұрақтылары, оларды көбейткенде a береді. D де, e де (немесе екеуі де) 1 бола алмайды, бірақ ол міндетті емес. Егер екеуі де 1 болса, сіз негізінен жоғарыда сипатталған стенография әдісін қолданасыз.

Мәселенің мысалын қарастырайық. 3x² - 8x + 4 бастапқыда қиын болып көрінеді. Алайда, біз 3-тің тек екі факторы бар екенін түсінгеннен кейін (3 және 1), бұл теңдеу жеңілдейді, өйткені біз білеміз (3x +/- _) (x +/- _) түрінде болу керек. Бұл жағдайда екі бос орынға -2 қосу дұрыс жауапты береді. -2 × 3x = -6x және -2 × x = -2x. -6x және -2x -8x дейін қосылады. -2 × -2 = 4, сондықтан көбейту кезінде жақшаға алынған терминдер бастапқы теңдеуді шығаратынын көреміз.

4 -қадам. Квадратты толтыру арқылы шешіңіз

Кейбір жағдайларда квадрат теңдеулерді арнайы алгебралық сәйкестендіру арқылы тез және оңай фактурлеуге болады. Х түріндегі кез келген квадрат теңдеу² + 2xh + сағ² = (x + h)². Егер сіздің теңдеуде b мәні с мәнінің квадрат түбірінен екі есе көп болса, онда сіздің теңдеуді (x + (түбір (с))) есептеуге болады².

Мысалы, x теңдеуі² +6x+9 осындай пішінге ие. 3² 9 және 3 × 2 - 6. Демек, біз бұл теңдеудің факторлық формасы (x + 3) (x + 3) немесе (x + 3) екенін білеміз.².

5 -қадам. Квадрат теңдеулерді шешу үшін факторларды қолданыңыз

Квадрат теңдеуді қалай тұжырымдағаныңызға қарамастан, теңдеу факторланғаннан кейін, әрбір факторды нөлге теңестіріп, оларды шешу арқылы х мәніне мүмкін болатын жауаптарды табуға болады. Сіз теңдеуіңізді нөлге тең ететін x мәнін іздейтін болсаңыз, кез келген факторды нөлге тең ететін х мәні сіздің квадрат теңдеуге мүмкін болатын жауап болады.

X теңдеуіне оралайық² + 5x + 6 = 0. Бұл теңдеу (x + 3) (x + 2) = 0 есептеледі. Егер факторлардың ешқайсысы 0-ге тең болса, онда барлық теңдеулер 0-ге тең болады, сондықтан біздің х-ке мүмкін болатын жауаптар- бұл сан. x + 3) және (x + 2) 0 -ге тең. Бұл сандар сәйкесінше -3 және -2.

Қадам 6. Жауаптарыңызды тексеріңіз - кейбір жауаптар жаңылыстыруы мүмкін

Мүмкін x жауаптарын тапқанда, жауаптың дұрыстығын білу үшін оларды бастапқы теңдеуіне қайта қосыңыз. Кейде сіз тапқан жауаптар бастапқы теңдеуді қайта енгізгенде нөлге тең етпейді. Біз бұл жауапты девиант деп атаймыз және оны елемейміз.

• -2 мен -3 -ті x -ке қойайық² + 5x + 6 = 0. Біріншіден, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Бұл жауап дұрыс, сондықтан -2 -дұрыс жауап.

• Енді, -3 көрейік:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Бұл жауап та дұрыс, сондықтан -3 -дұрыс жауап.

3 -ші әдіс 3: Басқа теңдеулерді факторинг

Қадам 1. Егер теңдеу a түрінде өрнектелсе²-б², (a+b) (a-b) факторы.

Екі айнымалысы бар теңдеулер негізгі квадрат теңдеуге қарағанда әр түрлі факторларға ие. Теңдеу үшін а²-б² a мен b 0-ге тең емес кез келген нәрсе, теңдеудің факторлары (a+b) (a-b).

Мысалы, 9х теңдеуі² - 4 ж² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Қадам 2. Егер теңдеу a түрінде өрнектелсе²+2аб+б², (a+b) факторы².

Назар аударыңыз, егер үшмүшелік a түрінде болса²-2ab+b², форма факторлары сәл өзгеше: (a-b)².

4x теңдеу² + 8кси + 4ж² 4 есе қайта жазуға болады² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Енді біз форманың дұрыс екенін көре аламыз, сондықтан біздің теңдеудің факторлары (2x + 2y) екеніне сенімді бола аламыз.²

3 -қадам. Егер теңдеу a түрінде өрнектелсе³-б³, фактор (a-b) (a²+аб+б²).

Ақырында, факторинг процесі тез күрделеніп кетсе де, текше теңдеулерді және тіпті одан да жоғары қуаттарды факторлауға болатыны айтылды.

Мысалы, 8 есе³ - 27 ж³ (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9ж²)

Кеңестер

• а²-б² фактуралануы мүмкін, а²+б² фактураға жатқызуға болмайды.
• Тұрақтылықты қалай көбейту керектігін есте сақтаңыз. Бұл көмектесуі мүмкін.
• Факторинг процесінде бөлшектермен абай болыңыз және бөлшектермен дұрыс және мұқият жұмыс жасаңыз.
• Егер сізде x түріндегі үшмүше болса²+ bx+ (b/2)², форма коэффициенті (x+(b/2))². (Квадратты аяқтау кезінде сіз осындай жағдайға тап болуыңыз мүмкін.)
• Есіңізде болсын, a0 = 0 (нөлдің көбейтіндісі).