Алгебралық өрнектерді жеңілдетудің 3 әдісі

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-15 08:18

Алгебралық өрнектерді жеңілдетуді үйрену - негізгі алгебраны меңгерудің кілттерінің бірі және кез келген математикке қажет ең пайдалы құрал. Жеңілдету математиктерге күрделі, ұзақ және/немесе тақ өрнектерді қарапайым немесе жеңіл эквивалентті өрнектерге түрлендіруге мүмкіндік береді. Қарапайым жеңілдету дағдыларын үйрену өте оңай - тіпті математиканы жек көретіндер үшін де. Бірнеше қарапайым қадамдарды орындау арқылы математикадан арнайы білімді пайдаланбай, жиі қолданылатын алгебралық өрнектердің көптеген түрлерін жеңілдетуге болады. Бастау үшін 1 -қадамды тексеріңіз!

Қадам

Маңызды ұғымдарды түсіну

Қадам 1. Ұқсас терминдерді айнымалылары мен күштеріне қарай топтастырыңыз

Алгебрада терминдер бірдей конфигурацияға ие, күші бірдей. Басқаша айтқанда, екі мүше тең болу үшін олардың айнымалысы бірдей болуы керек, немесе айнымалысы мүлде жоқ, ал әрбір айнымалының қуаты бірдей, немесе дәрежесі жоқ. Айнымалылардың реті тұрғысынан маңызды емес.

Мысалы, 3x² және 4x² терминдерге ұқсайды, себебі олардың екеуінде де квадраттың қуаты бар x айнымалысы бар. Дегенмен, x және x² терминдерге ұқсамайды, себебі әр терминнің қуаты әр түрлі болатын x айнымалысы бар. Іс жүзінде бірдей, -3yx және 5xz терминдерге ұқсамайды, себебі әр терминнің әр түрлі айнымалысы бар.

Қадам 2. Санды екі фактордың туындысы ретінде жазу арқылы фактор

Факторинг - берілген санды көбейтілетін екі фактордың туындысы ретінде жазу туралы түсінік. Сандар бірнеше факторлар жиынтығына ие болуы мүмкін - мысалы, 12 -ны 1 × 12, 2 × 6 және 3 × 4 -тен алуға болады, сондықтан 1, 2, 3, 4, 6 және 12 факторлар деп айтуға болады. 12 Елестетудің тағы бір әдісі - бұл санның факторлары - бұл бүтін санды бөлетін сандар.

• Мысалы, егер біз 20 факторды алғымыз келсе, біз оны келесідей жаза аламыз 4 × 5.
• Есіңізде болсын, айнымалы терминдерді факторға жатқызуға болады. -20x, мысалы, ретінде жазылуы мүмкін 4 (5x).
• Жай сандарды фактураға жатқызуға болмайды, себебі оларды тек өздері және 1 бөлуге болады.

Қадам 3. Амалдар ретін есте сақтау үшін KaPaK BoTaK аббревиатурасын қолданыңыз

Кейде өрнекті жеңілдету теңдеудегі операцияны ол жұмыс істемей қалғанша шешеді. Бұл жағдайда арифметикалық қателіктер болмауы үшін амалдардың орындалу тәртібін есте сақтау өте маңызды. KaPaK BoTaK аббревиатурасы сізге операциялардың орындалу тәртібін есте сақтауға көмектеседі - әріптер кезек бойынша орындау қажет операциялардың түрлерін көрсетеді:

• Қ сәтсіздік
• П көтеру
• Қ Әли
• B қайтадан
• Т.қосу
• Қ асшаян

3-ші әдіс 1: ұқсас шарттарды біріктіру

1 -қадам. Өз теңдеуіңізді жазыңыз

Бүтін коэффициенттері бар және бөлшектері, түбірлері және т.б жоқ бірнеше айнымалы мүшелерді қамтитын қарапайым алгебралық теңдеулерді бірнеше қадаммен шешуге болады. Көптеген математикалық есептер үшін теңдеуді жеңілдетудің бірінші қадамы - оны жазу!

Мысал ретінде келесі бірнеше қадамдар үшін өрнекті қолданамыз 1 + 2x - 3 + 4x.

2 -қадам. Ұқсас тайпаларды анықтаңыз

Әрі қарай, теңдеудегі ұқсас терминдерді іздеңіз. Есіңізде болсын, ұқсас терминдердің бірдей айнымалысы мен көрсеткіші бар.

Мысалы, 1 + 2x - 3 + 4x теңдеуіндегі ұқсас терминдерді анықтайық. 2x және 4x екеуінің де қуаты бірдей айнымалыға ие (бұл жағдайда х -тің көрсеткіші жоқ). Сондай -ақ, 1 және -3 терминдерге ұқсас, себебі олардың айнымалысы жоқ. Сонымен, біздің теңдеуде 2x және 4x және 1 және -3 ұқсас тайпалар.

Қадам 3. Ұқсас терминдерді біріктіріңіз

Енді сіз ұқсас терминдерді анықтадыңыз, сіз оларды теңестіруді жеңілдету үшін біріктіре аласыз. Бір айнымалысы мен көрсеткіші бар терминдер жиынтығын бір тең мүшеге дейін азайту үшін шарттарды қосыңыз (немесе теріс терминдер жағдайында алып тастаңыз).

• Біздің мысалда ұқсас терминдерді қосайық.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Қадам 4. Жеңілдетілген мүшелерден қарапайым теңдеу құрыңыз

Ұнаған терминдерді біріктіргеннен кейін жаңа, кіші терминдер жиынынан теңдеу құрыңыз. Сіз бастапқы теңдеудегі айнымалылар мен қуаттардың әр түрлі жиынтығы үшін бір мүшесі бар қарапайым теңдеу аласыз. Бұл жаңа теңдеу бастапқы теңдеуге тең.

Біздің мысалда біздің жеңілдетілген терминдер 6x және -2, сондықтан біздің жаңа теңдеу 6x - 2. Бұл қарапайым теңдеу түпнұсқаға тең (1 + 2x - 3 + 4x), бірақ қысқа және онымен жұмыс істеу оңай. Фактор жасау оңай, оны біз төменде қарастырамыз, бұл тағы бір маңызды жеңілдету дағдысы.

Қадам 5. Ұқсас терминдерді біріктіру кезінде амалдардың орындалу ретін сақтаңыз

Жоғарыда келтірілген мысалда қарастырылған сияқты қарапайым теңдеулерде ұқсас терминдерді анықтау оңай. Алайда, жақша мүшелері, бөлшектер мен түбірлерді қамтитын өрнектер сияқты күрделі теңдеулерде біріктіруге болатын терминдер анық көрінбеуі мүмкін. Бұл жағдайда қосу және азайту амалдары қалмайынша, өрнектегі шарттар бойынша амалдарды орындап, амалдардың тәртібін сақтаңыз.

• Мысалы, 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x теңдеуін қолданайық. 3x пен 2x -ті дереу терминдер ретінде қарастырып, оларды біріктіру дұрыс емес, себебі өрнектегі жақшалар алдымен басқа амалдарды орындау керек екенін көрсетеді. Біріншіден, біз қолдана алатын терминдерді алу үшін өрнекке амалдар ретімен арифметикалық амалдарды орындаймыз. Мыналарды қараңыз:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Енді қалған амалдар тек қосу мен азайту болғандықтан, біз ұқсас терминдерді біріктіре аламыз.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

3 әдіс 2: Факторинг

Қадам 1. Өрнектегі ең үлкен ортақ факторды анықтаңыз

Факторинг - бұл өрнектегі барлық ұқсас терминдерге ұқсас факторларды алып тастау арқылы өрнекті жеңілдету әдісі. Бастау үшін барлық терминдер бар ең үлкен ортақ факторды табыңыз - басқаша айтқанда, өрнектегі барлық терминдерді бөлетін ең үлкен сан.

• 9х теңдеуін қолданайық² + 27x - 3. Бұл теңдеудегі әрбір мүше 3 -ке бөлінетінін ескеріңіз. Терминдер үлкен санға бөлінбейтіндіктен, біз мұны айта аламыз.

  3 -қадам. бұл біздің ең үлкен ортақ факторымыз.

Қадам 2. Өрнектегі терминдерді ең үлкен ортақ факторға бөл

Содан кейін, теңдеудегі әрбір мүшені сіз тапқан ең үлкен ортақ факторға бөліңіз. Қосалқы мүшелердің бастапқы теңдеуге қарағанда кіші коэффициенті болады.

• Біздің теңдеуді оның ең үлкен ортақ коэффициентіне көбейтейік. 3. Ол үшін әр мүшені 3 -ке бөлеміз.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Осылайша, біздің жаңа өрнегіміз 3x² + 9x - 1.

Қадам 3. Өз өрнегіңізді қалған терминдерге көбейтілген ең үлкен ортақ фактордың туындысы ретінде жазыңыз

Сіздің жаңа өрнегіңіз бастапқы өрнекке тең емес, сондықтан өрнек жеңілдетілді деп айту дұрыс болмас еді. Біздің жаңа өрнегімізді түпнұсқаға теңестіру үшін, біздің өрнектің ең үлкен ортақ факторға бөлінгенін қосуымыз керек. Жаңа өрнекті жақшаға алыңыз және жақшаның өрнек коэффициенті ретінде бастапқы теңдеудің ең үлкен ортақ факторын жазыңыз.

Біздің мысалға теңдеу үшін 3x² + 9x - 1, біз өрнекті жақшаға алып, оны бастапқы теңдеудің ең үлкен ортақ көбейткішіне көбейте аламыз. 3 (3x² + 9x - 1). Бұл теңдеу бастапқы теңдеуге тең, 9х² +27x - 3.

Қадам 4. Бөлшектерді жеңілдету үшін факторингті қолданыңыз

Факторинг не үшін пайдаланылады деген сұрақ сізді қызықтыруы мүмкін, егер ең үлкен ортақ факторды жойғаннан кейін де, жаңа өрнекті сол факторға қайтадан көбейту керек болса. Шындығында, факторинг математиктерге өрнектерді жеңілдету үшін әр түрлі амалдарды орындауға мүмкіндік береді. Оның ең қарапайым амалдарының бірі бөлшектің алымы мен бөлгішін бір санға көбейту эквивалентті бөлшектерді шығара алатынын пайдаланады. Мыналарды қараңыз:

• Біздің алғашқы мысал өрнегімізді айтыңыз, 9x² + 27x - 3 - бұл үлестіргіш ретінде 3 болатын үлкен бөлшектің сандық көрсеткіші. Бөлшек келесідей болады: (9x² + 27x - 3)/3. Бөлшектерді жеңілдету үшін факторингті қолдана аламыз.

  • Нөмірдегі өрнектің бастапқы өрнегінің факторинг формасын алмастырайық: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Назар аударыңыз, қазір де бөлгіште де, бөлгіште де 3 коэффициенті бар. Бөлгіш пен бөлгішті 3 -ке бөлгенде, біз мынаны аламыз: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Бөліндісі 1 -ге тең кез келген бөлшек бөлгіштегі мүшелерге эквивалентті болғандықтан, біздің бастапқы бөлшегімізді жеңілдетуге болады деп айтуға болады. 3x² + 9x - 1.

3 -ші әдіс 3: Қосымша жеңілдету дағдыларын қолдану

Қадам 1. Бөлшектерді бірдей факторларға бөлу арқылы жеңілдетіңіз

Жоғарыда айтылғандай, егер теңдеудің бөлгіші мен бөлгіші бірдей факторларға ие болса, онда бұл факторларды бөлшекте толығымен алып тастауға болады. Кейде бұл факторға бөлгіште, бөлгіште немесе екеуінде де факторинг қажет болады (жоғарыдағы мысалдағы жағдай сияқты), бірақ кейде бірдей факторлар жиі айқын болады. Есіңізде болсын, жай өрнекті алу үшін бөлгіштегі теңдеулердің мүшелерін бір -бірден бөлуге болады.

• Факторингті қажет етпейтін мысалмен жұмыс жасайық. Бөлшектер үшін (5x² + 10x + 20)/10, коэффициент 5х -те 5 болса да, жеңілдету үшін әр бөлшекті 10 -ға бөлуге болады.² 10 -дан үлкен емес, сондықтан 10 фактор емес.

  Егер солай етсек, біз аламыз ((5x²)/10) + x + 2. Егер қаласақ, біз бірінші мүшені (1/2) x түрінде қайта жаза аламыз² сондықтан біз (1/2) x аламыз² +x+2.

Қадам 2. Түбірлерді жеңілдету үшін квадрат факторларды қолданыңыз

Түбір белгісінің астындағы өрнек түбір өрнек деп аталады. Бұл өрнекті квадраттық факторларды (бүтін сандардың квадраты болып табылатын факторларды) анықтау және квадрат түбір таңбасының астынан жою үшін квадрат түбірлік операцияны бөлек орындау арқылы жеңілдетуге болады.

• Қарапайым мысал келтірейік - (90). Егер біз 90 -ды оның 9 және 10 екі факторының көбейтіндісі ретінде қарастыратын болсақ, онда бүтін 3 болатын 9 -ның квадрат түбірін алып, оны радикалды белгіден алып тастай аламыз. Басқа сөздермен айтқанда:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Қадам 3. Екі көрсеткішті көбейту кезінде көрсеткіштерді қосу; бөлу кезінде азайту

Кейбір алгебралық өрнектер күш мүшелерін көбейтуді немесе бөлуді талап етеді. Уақытты үнемдеу үшін әр көрсеткішті қолмен есептеудің немесе бөлудің орнына көбейту кезінде көрсеткіштерді қосу және бөлу кезінде азайту қажет. Бұл ұғымды айнымалы өрнектерді жеңілдету үшін де қолдануға болады.

• Мысалы, 6x өрнегін қолданайық³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Көрсеткіштерді көбейту немесе бөлу қажет болған жағдайда, біз жай терминді тез табу үшін сәйкесінше көрсеткіштерді алып тастаймыз немесе қосамыз. Мыналарды қараңыз:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Бұл қалай жұмыс істейтінін түсіндіру үшін төменде қараңыз:

  • Көрсеткіштерді терминдермен көбейту, шын мәнінде, ұзақ көрсеткіштермен емес, көбейту сияқты. Мысалы, себебі x³ = x × x × x және x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), немесе x⁸.
  • Дәл сол сияқты, экспоненттерді бөлу ұзақ экспоненттер емес, терминдерді бөлуге ұқсайды. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Нөмірдегі әр мүшені бөлгіште сол мүшені табу арқылы сызып тастауға болатындықтан, х есепте екі х қалады, ал төменгі жағында ештеңе қалмайды, х жауап береді.².

Кеңестер

• Әрқашан есіңізде болсын, бұл сандарды оң және теріс белгілері бар деп елестету керек. Көптеген адамдар мұнда қандай белгі қоюым керек деп ойламайды.
• Егер сізге қажет болса, көмек сұраңыз!
• Алгебралық өрнектерді жеңілдету оңай емес, бірақ сіз оны түсінгеннен кейін оны өмір бойы қолданасыз.

Ескерту

• Әрқашан ұқсас тайпаларды іздеңіз және дәрежеге алданып қалмаңыз.
• Кездейсоқ болмауы керек сандарды, қуаттарды немесе әрекеттерді қоспағаныңызға көз жеткізіңіз.