Түбірлік пішін - бұл алгебралық түбір белгісі бар түбір (немесе текше немесе одан жоғары) белгісі. Бұл форма бір қарағанда әр түрлі болып көрінсе де, мәні бірдей екі санды көрсете алады (мысалы, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Сондықтан бізге мұндай форманың «стандартты формуласы» қажет. Егер стандартты формулада екеуі де әр түрлі болып көрінетін екі мәлімдеме болса, олар бірдей емес. Математиктер квадрат форманың стандартты формуласы келесі талаптарға сәйкес келетініне келіседі:
- Бөлшектерді пайдаланудан аулақ болыңыз
- Бөлшек күштерді пайдаланбаңыз
- Бөлгіште түбірлік форманы қолданудан аулақ болыңыз
- Екі түбірлік форманың көбейтілуін қамтымайды
- Түбір астындағы сандар енді түбірлене алмайды
Мұның практикалық қолданылуының бірі - бірнеше таңдау емтихандарында. Сіз жауапты тапқан кезде, бірақ сіздің жауапыңыз қол жетімді нұсқалармен бірдей болмаса, оны стандартты формулаға жеңілдетуге тырысыңыз. Сұрақ қоюшылар әдетте стандартты формулаларда жауап жазатындықтан, жауаптарыңызбен соларға сәйкес келіңіз. Эссе сұрақтарында «сіздің жауабыңызды жеңілдету» немесе «барлық түбірлерді жеңілдету» сияқты командалар студенттер жоғарыдағы стандартты формулаға сәйкес келмейінше келесі әрекеттерді орындауы керек дегенді білдіреді. Бұл қадамды теңдеулерді шешу үшін де қолдануға болады, дегенмен кейбір теңдеулер типтері стандартты емес формулаларда оңай шешіледі.
Қадам
1 -қадам. Қажет болса, осы процесте бізге қажет болғандықтан, амалдық түбірлер мен көрсеткіштердің ережелерін қарастырыңыз (екеуі тең - түбірлер - бөлшектердің күштері)
Сонымен қатар көпмүшелер мен рационалды формаларды жеңілдету ережелерін қарастырыңыз, себебі оларды жеңілдету қажет болады.
6 -ның 1 әдісі: мінсіз квадраттар
Қадам 1. Керемет квадраттары бар барлық тамырларды жеңілдетіңіз
Мінсіз квадрат - бұл санның туындысы, мысалы 81, ол 9х 9 -ның көбейтіндісі. Квадрат түбірін оңайлату үшін жай ғана түбірді алып тастап, санның квадрат түбірін жазыңыз.
- Мысалы, 121 - бұл тамаша квадрат, себебі 11 x 11 121 -ге тең. Сонымен, түбірлік белгіні алып тастау арқылы түбірді (121) 11 -ге дейін жеңілдетуге болады.
- Бұл қадамды жеңілдету үшін сізге он екі мінсіз квадратты есте сақтау қажет: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Қадам 2. Керемет текшелері бар барлық тамырларды жеңілдетіңіз
Мінсіз текше - бұл санды екі есе көбейтудің туындысы, мысалы 27, ол 3х3 х 3 -тің көбейтіндісі. Кемел кубтың түбірлік формасын жеңілдету үшін шаршы түбірді алып тастап, квадрат түбірді жазыңыз. санның.
Мысалы, 343 - бұл тамаша текше, себебі ол 7 x 7 x 7 көбейтіндісі. Демек, 343 куб түбірі - 7
6 -ның 2 әдісі: Бөлшектерді түбірге түрлендіру
Немесе керісінше өзгерту (бұл кейде көмектеседі), бірақ оларды root (5) + 5^(3/2) сияқты сөйлемде араластырмаңыз. Сіз түбірлік пішінді қолданғыңыз келеді деп ойлаймыз және біз квадрат түбірі үшін root (n) және текше түбірі үшін sqrt^3 (n) таңбаларын қолданамыз.
Қадам 1. Бөлшектің күшіне біреуін алып, оны түбірлік түрге айналдырыңыз, мысалы x^(a/b) = түбірін x^a -ның b дәрежесіне
Егер квадрат түбір бөлшек түрінде болса, оны қалыпты түрге айналдырыңыз. Мысалы, квадрат түбір (2/3) 4 = түбір (4)^3 = 2^3 = 8
Қадам 2. Теріс көрсеткішті бөлшектерге айналдырыңыз, мысалы x^-y = 1/x^y
Бұл формула тұрақты және рационалды көрсеткіштерге ғана қатысты. Егер сіз 2^x сияқты формамен айналысатын болсаңыз, егер мәселе x бөлшек немесе теріс сан болуы мүмкін екенін көрсетсе де, оны өзгертпеңіз
3 -қадам. Бір тайпаны біріктіру және алынған рационалды форманы жеңілдету.
6 -ның 3 әдісі: Тамырдағы фракцияларды жою
Стандартты формула түбірдің бүтін сан болуын талап етеді.
Қадам 1. Квадрат түбірдің астындағы санды қараңыз, егер онда әлі де бөлшек болса
Егер әлі де,…
Қадам 2. (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) сәйкестендіру түбірін пайдаланып, екі түбірден тұратын бөлшекке ауысыңыз
Егер бөлгіш теріс болса немесе теріс болуы мүмкін айнымалы болса, бұл сәйкестікті пайдаланбаңыз. Бұл жағдайда алдымен бөлшекті жеңілдетіңіз
Қадам 3. Нәтиженің әрбір мінсіз шаршысын жеңілдетіңіз
Яғни, sqrt (5/4) -ті sqrt (5)/sqrt (4) -ке түрлендіріңіз, содан кейін sqrt (5)/2 -ге дейін жеңілдетіңіз.
Қадам 4. Күрделі бөлшектерді жеңілдету, тең мүшелерді біріктіру сияқты басқа да жеңілдету әдістерін қолданыңыз
6 -ның 4 әдісі: Көбейту түбірлерін біріктіру
Қадам 1. Егер сіз бір түбір пішінін екіншіге көбейтсеңіз, формуланы қолданып, екеуін бір квадрат түбірге біріктіріңіз:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Мысалы, root (2)*root (6) түбірін (12) өзгертіңіз.
- Жоғарыдағы sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) идентификаторы, егер sqrt белгісінің астындағы сан теріс болмаса, жарамды. A және b теріс болған кезде бұл формуланы қолданбаңыз, себебі сіз sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) жасау қателесесіз. Оң жақтағы мәлімдеме +1 болса, сол жақтағы мәлімдеме -1 -ге тең (немесе егер күрделі сандарды қолданбасаңыз анықталмаған). Егер a және/немесе b теріс болса, алдымен sqrt (-5) = i*sqrt (5) сияқты белгіні «өзгертіңіз». Егер түбір белгісінің астындағы форма белгісі контексттен белгісіз немесе оң немесе теріс болуы мүмкін айнымалы болса, оны әзірше сол күйінде қалдырыңыз. Сіз a және b барлық нақты сандарға қолданылатын sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) жалпы сәйкестікті қолдана аласыз, бірақ әдетте бұл формула көп көмектеспейді, себебі ол sgn (signum) функциясын қолданудың күрделілігін қосады.
- Бұл сәйкестік түбірлердің формалары бірдей көрсеткішке ие болған жағдайда ғана жарамды болады. Бір квадрат түбірге түрлендіру арқылы sqrt (5)*sqrt^3 (7) сияқты әр түрлі квадрат түбірлерді көбейтуге болады. Ол үшін квадрат түбірді уақытша бөлшекке айналдырыңыз: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Содан кейін көбейту ережесін қолданып, екеуін 6125 квадрат түбіріне көбейтіңіз.
6 -ның 5 әдісі: Квадрат факторды тамырдан алып тастау
1 -қадам. Жетілмеген тамырларды негізгі факторларға айналдыру
Фактор - бұл басқа санға көбейткенде санды құрайтын сан, мысалы, 5 пен 4 - 20 -ның екі факторы. Кемелсіз түбірлерді бұзу үшін санның барлық факторларын жазыңыз (немесе мүмкіндігінше көп болса) саны тым үлкен) мінсіз шаршы табылғанша.
Мысалы, 45 -тің барлық факторларын табуға тырысыңыз: 1, 3, 5, 9, 15 және 45. 9 - 45 коэффициенті, сонымен қатар мінсіз квадрат (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Қадам 2. Квадрат түбірдің ішінен мінсіз квадраттар болатын барлық көбейткіштерді алып тастаңыз
9 - бұл тамаша квадрат, себебі ол 3 x 3 -тің туындысы. 9 -ды квадрат түбірден шығарып, квадрат түбірдің алдында 3 -ке ауыстырыңыз, квадрат түбірдің ішінде 5 қалдырыңыз. Егер сіз 3 -ті квадрат түбірге «қойсаңыз», өз -өзінен 9 -ға көбейтіңіз, ал 5 -ке көбейтсеңіз 45 -ті қайтарады. 5 түбірінің 3 түбірі - 45 түбірін білдірудің қарапайым әдісі.
Яғни, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
3 -қадам. Айнымалыдан мінсіз квадратты табыңыз
Квадраттың квадрат түбірі | a |. Егер белгілі айнымалы оң болса, мұны «а» -ға дейін жеңілдетуге болады. А -ның квадрат түбірі квадраттың квадрат түбіріне бөлінгенде 3 -ке тең болады - екі санды а -ның дәрежесіне көбейткенде көрсеткіштер қосылатынын есте сақтаңыз, сондықтан квадраты a -ға тең үшінші күш.
Демек, текше түріндегі мінсіз квадрат - бұл квадрат
Қадам 4. Квадрат түбірден мінсіз квадраты бар айнымалы мәнді алып тастаңыз
Енді квадрат түбірден квадрат алыңыз және оны | a | деп өзгертіңіз. A түбірінің 3 дәрежесіне дейінгі қарапайым формасы | a | түбір а.
Қадам 5. Тең мүшелерді біріктіріп, есептеу нәтижелерінің түбірлерін жеңілдетіңіз
6 -ның 6 әдісі: Бөлгішті рационализациялау
1 -қадам. Стандартты формула бөлгішті мүмкіндігінше бүтін сан (немесе айнымалы болса, көпмүше) болуын талап етеді
-
Егер бөлгіш түбір белгісінің астындағы бір мүшеден тұрса, мысалы […]/root (5), онда […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt алу үшін бөлгішті де, бөлгішті де осы түбірге көбейтіңіз. (5) = […]*түбір (5)/5.
Текше немесе одан жоғары түбірлер үшін бөлгіш ұтымды болу үшін сәйкес түбірге көбейтіңіз. Егер бөлгіш^3 (5) түбірі болса, бөлгіш пен бөлгішті sqrt^3 (5)^2 көбейтіңіз
-
Егер бөлгіш sqrt (2) + sqrt (6) сияқты екі квадрат түбірді қосудан немесе алып тастаудан тұрса, квантор мен бөлгішті олардың формасы бірдей, бірақ қарама -қарсы белгісі бар конъюгатына көбейтіңіз. Содан кейін […]/(түбір (2) + түбір (6)) = […] (түбір (2) -тамыр (6))/(түбір (2) + түбір (6)) (түбір (2) -тамыр (6)). Содан кейін бөлгішті ұтымды ету үшін (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Бұл 5 + sqrt (3) сияқты бөлгіштерге де қатысты, себебі барлық бүтін сандар басқа бүтін сандардың түбірлері болып табылады. [1/(5 + шаршы (3)) = (5-шаршы (3))/(5 + шаршы (3)) (5-шаршы (3)) = (5-шаршы (3))/(5^ 2-шаршы (3)^2) = (5-шаршы (3))/(25-3) = (5 шаршы (3))/22]
- Бұл әдіс sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7) сияқты түбірлерді қосуға да қолданылады. Егер сіз оларды (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) деп топтап, (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) көбейтсеңіз, жауап рационалды түрде емес, әлі де+b*түбірінде (30), онда а мен b - рационал сандар. Содан кейін а+b*sqrt (30) және (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) конъюгаттарымен процесті қайталау ұтымды болады. Шын мәнінде, егер сіз осы трюкті қолдана отырып, бөлгіштегі бір түбір белгісін алып тастай алсаңыз, барлық тамырларды жою үшін оны бірнеше рет қайталауға болады.
- Бұл әдісті жоғары түбірі бар бөлгіштер үшін де қолдануға болады, мысалы 3 -тің төртінші түбірі немесе 9 -ның жетінші түбірі. Өкінішке орай, біз бөлгіштің конъюгатын тікелей ала алмаймыз және мұны істеу қиын. Жауапты сандар теориясы бойынша алгебра кітабынан таба аламыз, бірақ мен бұған кірмеймін.
2 -қадам. Енді бөлгіш рационалды түрде, бірақ сандар шатастырылған көрінеді
Енді сіз оны бөлгіштің қосындысына көбейтуіңіз керек. Жалғастырыңыз және біз көпмүшелерді көбейтетініміздей көбейіңіз. Мүмкіндігінше кез келген терминдерді алып тастауға, жеңілдетуге немесе біріктіруге болатынын тексеріңіз.
3 -қадам. Егер бөлгіш теріс бүтін сан болса, оны оң ету үшін бөлгішті де, бөлгішті де -1 -ге көбейтіңіз
Кеңестер
- Түбірлік формаларды жеңілдетуге көмектесетін сайттарды Интернеттен іздеуге болады. Түбір белгісі бар теңдеуді енгізіңіз, Enter пернесін басқаннан кейін жауап пайда болады.
- Қарапайым сұрақтар үшін сіз осы мақаладағы барлық қадамдарды пайдалана алмайсыз. Күрделі сұрақтар үшін бірнеше қадамдарды бірнеше рет қолдану қажет болуы мүмкін. «Қарапайым» қадамдарды бірнеше рет қолданыңыз және сіздің жауапыңыз біз бұрын талқылаған стандартты тұжырымдау критерийлеріне сәйкес келетінін тексеріңіз. Егер сіздің жауабыңыз стандартты формулада болса, сіз дайынсыз; бірақ егер олай болмаса, оны орындауға көмектесу үшін жоғарыдағы қадамдардың бірін тексеруге болады.
- Түбірлер формасы үшін «ұсынылған стандартты формулаға» сілтемелердің көпшілігі күрделі сандарға да қолданылады (i = түбір (-1)). Егер операторда түбірдің орнына «i» болса да, мүмкіндігінше әлі де i бар бөлгіштерден аулақ болыңыз.
- Осы мақаладағы кейбір нұсқаулар барлық түбірлер квадрат деп есептейді. Сол жалпы қағидалар жоғары күштердің тамырына қатысты, дегенмен кейбір бөліктермен (әсіресе бөлгішті рационализациялау) жұмыс істеу өте қиын болуы мүмкін. Қандай пішінді алғыңыз келетінін өзіңіз шешіңіз, мысалы, sqr^3 (4) немесе sqr^3 (2)^2. (Оқулықтарда әдетте қандай форма ұсынылатыны есімде жоқ).
- Осы мақаладағы кейбір нұсқаулар «қалыпты форманы» сипаттау үшін «стандартты формула» сөзін қолданады. Айырмашылығы мынада: стандартты формула тек 1+sqrt (2) немесе sqrt (2) +1 формасын қабылдайды және басқа формаларды стандартты емес деп есептейді; Қарапайым форма сіз, оқырман, бұл екі санның «ұқсастығын» көре алатындай ақылдысыз деп есептейді, бірақ олар жазбаша түрде бірдей болмаса да (олардың арифметикалық қасиетінде (коммутативті қосуда) емес, алгебралық қасиеттерінде (түбірі) (2)-x^2-2 теріс емес түбірі)). Оқырмандар бұл терминологияны қолданудағы шамалы абайсыздықты түсінеді деп сенеміз.
- Егер қандай да бір түсініксіз немесе қарама -қайшы көрінетін болса, барлық қадамдарды біркелкі және дәйекті түрде орындаңыз, содан кейін өзіңізге ұнайтын форманы таңдаңыз.
