«Теңдеулер жүйесінде» бір уақытта екі немесе одан да көп теңдеулерді шешу сұралады. Егер екі теңдеудің екі түрлі айнымалысы болса, мысалы x және y, шешімі бастапқыда қиын болып көрінуі мүмкін. Бақытымызға орай, сіз не істеу керектігін білсеңіз, мәселені шешу үшін алгебралық дағдыларыңызды (және бөлшектерді есептеу ғылымын) қолдануға болады. Егер сіз көрнекі түрде оқитын болсаңыз немесе мұғалім қажет болса, осы екі теңдеуді қалай салу керектігін біліңіз. Суреттер сізге тақырыпты анықтауға немесе жұмысыңыздың нәтижесін тексеруге көмектеседі. Бірақ бұл әдіс басқа әдістерге қарағанда баяу және барлық теңдеулер жүйесінде қолданыла алмайды.
Қадам
3 -ші әдіс 1: Ауыстыру әдісін қолдану
Қадам 1. Айнымалыларды теңдеудің қарама -қарсы жағына жылжытыңыз
Ауыстыру әдісі теңдеулердің бірінен «х мәнін табудан» (немесе кез келген басқа айнымалыдан) басталады. Мысалы, есептің теңдеуін айтыңыз 4x + 2y = 8 және 5x + 3y = 9. Бірінші теңдеу бойынша жұмыс жасаудан бастаңыз. Екі жақтан 2y азайту арқылы теңдеуді қайта реттеңіз. Осылайша, сіз аласыз 4x = 8 - 2ж.
Бұл әдіс соңында бөлшектерді жиі қолданады. Егер сізге бөлшектерді санау ұнамаса, төмендегі жою әдісін қолданып көріңіз
Қадам 2. Теңдеудің екі жағын да бөліп, «х мәнін табыңдар»
Х термині (немесе сіз қолданатын айнымалы) теңдеудің бір жағында жалғыз болғанда, теңдеудің екі жағын да коэффициенттерге бөліңіз, сонда тек айнымалы қалады. Мысал ретінде:
- 4x = 8 - 2ж
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ж
Қадам 3. Бірінші теңдеудегі x мәнін екінші теңдеуге қосыңыз
Сіз оны жаңа теңдеудің орнына қосқаныңызға көз жеткізіңіз. Екінші теңдеудегі х айнымалысын алмастырыңыз (ауыстырыңыз). Осылайша, екінші теңдеудің енді бір ғана айнымалысы бар. Мысал ретінде:
- Белгілі x = 2 - ж.
- Сіздің екінші теңдеуіңіз 5x + 3y = 9.
- Екінші теңдеудегі x айнымалысын бірінші теңдеудегі x мәнімен ауыстырғаннан кейін біз «2 - y» аламыз: 5 (2 - у) + 3ж = 9.
Қадам 4. Қалған айнымалыларды шешіңіз
Енді сіздің теңдеуде тек бір айнымалы бар. Айнымалының мәнін табу үшін қарапайым алгебралық амалдары бар теңдеуді есептеңіз. Егер екі айнымалы бір -бірінен бас тартса, соңғы қадамға өтіңіз. Әйтпесе, сіз айнымалылардың біріне мән аласыз:
- 5 (2 - у) + 3ж = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) у + (6/2) у = 9 (Егер сіз бұл қадамды түсінбесеңіз, бөлшектерді қосуды үйреніңіз.)
- 10 + у = 9
- y = -1
- y = -2
Қадам 5. Алынған жауапты пайдаланып, бірінші теңдеудегі х -тың шын мәнін табыңыз
Есептеулеріңіз әлі аяқталмағандықтан, әлі тоқтамаңыз. Қалған айнымалылардың мәнін табу үшін алынған жауапты бірінші теңдеуге қосу керек:
- Белгілі y = -2
- Бірінші теңдеудегі теңдеулердің бірі - 4x + 2y = 8. (Сіз біреуін пайдалана аласыз.)
- Y айнымалысын -2 -ге ауыстырыңыз: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Қадам 6. Екі айнымалы бір -бірінен бас тартса не істеу керектігін біліңіз
Сіз кірген кезде x = 3y+2 немесе екінші теңдеуге ұқсас жауап, яғни сіз тек бір айнымалысы бар теңдеуді алуға тырысасыз. Кейде сіз тек теңдеуді аласыз жоқ айнымалы Жұмысыңызды екі рет тексеріңіз және бірінші теңдеуге қайтудың орнына бірінші теңдеуді екінші теңдеуге қойғаныңызға көз жеткізіңіз. Қате істемегеніңізге сенімді болсаңыз, келесі нәтижелердің бірін жазыңыз:
- Егер теңдеуде айнымалылар болмаса және ол дұрыс болмаса (мысалы, 3 = 5), бұл мәселе жауап жоқ. (Егер бұл графикке салынған болса, бұл екі теңдеу параллель және ешқашан сәйкес келмейді.)
- Егер теңдеуде айнымалылар болмаса және Дұрыс, (мысалы, 3 = 3), бұл сұрақтың бар екенін білдіреді шектеусіз жауаптар. Бірінші теңдеу екінші теңдеуге дәл сәйкес келеді. (Графикте бұл екі теңдеу бір сызық.)
3 -тің 2 әдісі: Жою әдісін қолдану
Қадам 1. Өзара ажыратылатын айнымалыларды табыңыз
Кейде есептегі теңдеу қазірдің өзінде болады бір -бірінен бас тарту қосылған кезде. Мысалы, егер сіз теңдеуді жасасаңыз 3х + 2ж = 11 және 5x - 2y = 13, «+2y» және «-2y» терминдері бір-бірін жоққа шығарады және «y» айнымалысын теңдіктен алып тастайды. Есептегі теңдеуді қараңыз және мысалдағыдай бір -бірін жоққа шығаратын айнымалылар бар -жоғын біліңіз. Егер жоқ болса, келесі қадамға өтіңіз.
Қадам 2. Бір айнымалы жойылатындай теңдеуді біреуіне көбейтіңіз
(Егер айнымалылар бір -бірінен бас тартса, бұл қадамды өткізіп жіберіңіз.) Егер теңдеуде өздігінен жойылатын айнымалылар болмаса, теңдеулердің бірін өзгерте алатындай етіп өзгертіңіз. Оларды түсіну үшін келесі мысалдарды қараңыз:
- Есептегі теңдеулер - бұл 3x - y = 3 және - x + 2y = 4.
- Бірінші теңдеуді айнымалы болатындай етіп өзгертейік ж бір -бірінен бас тарту. (Сіз айнымалы мәнді пайдалана аласыз x. Алынған соңғы жауап бірдей болады.)
- Айнымалы - ж бірінші теңдеуде арқылы жойылуы керек + 2 ж екінші теңдеуде. Қалай, көбейт - ж 2 -мен.
- Теңдеудің екі жағын да 2 -ге көбейтіңіз: 2 (3x - y) = 2 (3), солай 6x - 2y = 6. Енді, тайпа - 2 ж көмегімен бір -бірінен бас тартады +2 ж екінші теңдеуде.
3 -қадам. Екі теңдеуді біріктіріңіз
Айла - бірінші теңдеудің оң жағын екінші теңдеудің оң жағына қосу, ал бірінші теңдеудің сол жағын екінші теңдеудің сол жағына қосу. Егер дұрыс орындалса, айнымалылардың бірі бір -бірінен бас тартады. Алдыңғы мысалдағы есепті жалғастыруға тырысайық:
- Сіздің екі теңдеуіңіз 6x - 2y = 6 және - x + 2y = 4.
- Екі теңдеудің сол жақтарын қосыңыз: 6x - 2y - x + 2y =?
- Екі теңдеудің оң жақтарын қосыңыз: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Қадам 4. Соңғы айнымалы мәнді алыңыз
Құрама теңдеуді жеңілдетіп, соңғы айнымалы мәнді алу үшін стандартты алгебрамен жұмыс жасаңыз. Егер жеңілдетуден кейін теңдеуде айнымалылар болмаса, осы бөлімдегі соңғы қадамға өтіңіз.
Әйтпесе, сіз айнымалылардың біріне мән аласыз. Мысал ретінде:
- Белгілі 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Топтық айнымалылар x және ж бірге: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Теңдеуді жеңілдетіңіз: 5x = 10
- X мәнін табыңыз: (5x)/5 = 10/5, алу үшін x = 2.
5 -қадам. Басқа айнымалының мәнін табыңыз
Сіз бір айнымалы мәнді таптыңыз, ал екіншісі ше? Қалған айнымалының мәнін табу үшін жауапты теңдеулердің біріне қосыңыз. Мысал ретінде:
- Белгілі x = 2, және есептегі теңдеулердің бірі 3x - y = 3.
- X айнымалысын 2 -ге ауыстырыңыз: 3 (2) - у = 3.
- Теңдеудегі у мәнін табыңыз: 6 - у = 3
- 6 - у + у = 3 + у, солай 6 = 3 + ж
- 3 = ж
Қадам 6. Екі айнымалы бір -бірінен бас тартқанда не істеу керектігін біліңіз
Кейде екі теңдеуді біріктіру мағынасы жоқ немесе есепті шешуге көмектеспейтін теңдеуге әкеледі. Жұмысыңызды қарап шығыңыз, егер сіз қате істемегеніңізге сенімді болсаңыз, келесі екі жауаптың бірін жазыңыз:
- Егер аралас теңдеуде айнымалылар болмаса және ол дұрыс болмаса (мысалы, 2 = 7), бұл мәселе жауап жоқ. Бұл жауап екі теңдеуге де қатысты. (Егер бұл графикке түсірілсе, бұл екі теңдеу параллель және ешқашан сәйкес келмейді.)
- Егер аралас теңдеуде айнымалылар болмаса және Дұрыс, (мысалы, 0 = 0), бұл сұрақтың бар екенін білдіреді шектеусіз жауаптар. Бұл екі теңдеу бір -біріне ұқсас. (Графикте бұл екі теңдеу бір сызық.)
3 -ші әдіс 3: Теңдеулер графигін салыңыз
Қадам 1. Бұл әдісті нұсқаулық берілген кезде ғана орындаңыз
Егер сіз компьютерді немесе графикалық калькуляторды пайдаланбасаңыз, бұл әдіс тек қана жуық жауаптарды бере алады. Сіздің мұғаліміңіз немесе оқулығыңыз сізге теңдеуді сызық ретінде салуды әдетке айналдыру үшін осы әдісті қолдану керектігін айтуы мүмкін. Бұл әдісті жоғарыдағы әдістердің біреуінің жауабын тексеру үшін де қолдануға болады.
Негізгі идея - екі теңдеуді сипаттап, олардың қиылысу нүктесін табу керек. Бұл қиылысу нүктесіндегі х пен у мәндері есептің жауабы болып табылады
Қадам 2. Екі теңдеудің у мәндерін табыңыз
Екі теңдеуді біріктірмеңіз және әр теңдеуді «y = _x + _» болатындай етіп өзгертіңіз. Мысал ретінде:
- Сіздің бірінші теңдеуіңіз 2x + y = 5. Өзгерту y = -2x + 5.
- Сіздің бірінші теңдеуіңіз - 3x + 6y = 0. Өзгерту 6y = 3x + 0, және жеңілдетіңіз y = x + 0.
- Егер сіздің екі теңдеуіңіз бірдей болса, бүкіл сызық екі теңдеудің «қиылысуы» болып табылады. Жазу шектеусіз жауаптар жауап ретінде.
Қадам 3. Координат осьтерін сызыңыз
Графикалық қағазға тік «у осі» және көлденең «х осі» сызығын салыңыз. Екі ось қиылысатын нүктеден бастап (0, 0), 1, 2, 3, 4 және т.б. осьтерінде у осіне жоғары қарай және х осінде оңға қарай сандық белгілерді жазыңыз.. Осыдан кейін -1, -2 және т.б. осьтерінің тізбегін у осіне төмен қарай, ал х осінде солға қарай көрсететін сандық белгілерді жазыңыз.
- Егер сізде графикалық қағаз болмаса, сызғышты қолданып, әр сан арасындағы интервалдың бірдей екеніне көз жеткізіңіз.
- Егер сіз үлкен сандарды немесе ондық бөлшектерді қолдансаңыз, диаграмманы масштабтауды ұсынамыз (мысалы, 1, 2, 3 орнына 10, 20, 30 немесе 0, 1, 0, 2, 0, 3).
4-қадам. Әр теңдеуге у-қиылысу нүктесін салыңыз
Егер теңдеу формада болса y = _x + _, теңдеу сызығы у осімен қиылысатын нүктені құру арқылы график құруды бастауға болады. У мәні әрқашан теңдеудегі соңғы санмен бірдей.
-
Алдыңғы мысалды жалғастыра отырып, бірінші жол (y = -2x + 5) у осін кесіп өтеді
5 -қадам.. екінші жол (y = x + 0) у осін кесіп өтеді 0. (Бұл нүктелер графикте (0, 5) және (0, 0) түрінде жазылады.)
- Мүмкін болса, әр түрлі түсті қалам немесе қарындашпен бірінші және екінші жолдарды салыңыз.
Қадам 5. Сызықты жалғастыру үшін көлбеуді қолданыңыз
Теңдеу форматында y = _x + _, х -тың алдындағы сан сызықтың «көлбеу деңгейін» көрсетеді. Х әр жолы бір көбейтілгенде, y мәні көлбеу деңгейлерінің санына артады. Бұл ақпаратты x = 1 болғанда графиктің әр жолының нүктелерін табу үшін пайдаланыңыз (сонымен қатар әр теңдеуге x = 1 енгізіп, у мәнін табуға болады.)
- Алдыңғы мысалды жалғастыра отырып, сызық y = -2x + 5 көлбеу бар - 2. X = 1 нүктесінде түзу қозғалады төмен x = 0 нүктесінен 2 -ге дейін. (0, 5) -ті (1, 3) -ке қосатын түзу жүргіз.
- Түзу y = x + 0 көлбеуі бар ½. X = 1 кезінде сызық жылжиды міну x = 0 нүктесінен. (0, 0) -ді (1,) -мен қосатын сызық сызыңыз.
- Егер екі сызықтың көлбеуі бірдей болса, екеуі ешқашан қиылыспайды. Осылайша, бұл теңдеулер жүйесінде жауап жоқ. Жазу жауап жоқ жауап ретінде.
Қадам 6. Екі сызық қиылысқанша сызықтарды жалғастыруды жалғастырыңыз
Жұмысты тоқтатып, графигіңізді қараңыз. егер екі сызық бір -бірін қиып өтсе, келесі қадамға өтіңіз. Олай болмаса, екі жолдың орналасуына негізделген шешім қабылдаңыз:
- Егер екі сызық бір -біріне жақындаса, жолақтардың нүктелерін қосуды жалғастырыңыз.
- Егер екі сызық бір -бірінен алыстаса, артқа қайтып, нүктелерді қарама -қарсы бағытта жалғаңыз, x = 1 -ден басталады.
- Егер екі сызық бір -бірінен өте алшақ болса, секіруге тырысыңыз және нүктелерді алысырақ байланыстырыңыз, мысалы x = 10.
Қадам 7. Қиылысу нүктесінде жауапты табыңыз
Екі сызық қиылысқаннан кейін, сол кездегі х пен у мәні сіздің мәселеңізге жауап болады. Егер сіз бақытты болсаңыз, жауап бүтін сан болады. Мысалы, біздің мысалда екі түзу нүктеде қиылысады (2, 1) сондықтан жауап x = 2 және y = 1. Кейбір теңдеулер жүйесінде түзудің қиылысатын нүктесі екі бүтін санның арасында болады, ал егер график өте дәл болмаса, онда x пен y мәндерінің қиылысу нүктесінде екенін анықтау қиын. Егер рұқсат етілсе, сіз жауап ретінде «x 1 мен 2 арасында» деп жаза аласыз немесе жауапты табу үшін алмастыру немесе жою әдісін қолдана аласыз.
Кеңестер
- Жауаптарды бастапқы теңдеуге қосу арқылы жұмысыңызды тексеруге болады. Егер теңдеу ақиқат болып шықса (мысалы, 3 = 3), бұл сіздің жауабыңыз дұрыс екенін білдіреді.
- Жою әдісін қолданғанда, кейде айнымалылар бір -бірінен бас тартуы үшін теңдеуді теріс санға көбейтуге тура келеді.
