Квадрат түбірлік мәселелерді қалай шешуге болады (суреттермен)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-15 08:18

Бұл кейде қиын болып көрінсе де, квадрат түбірлік мәселені шешу соншалықты қиын емес. Қарапайым түбірлік есептерді көбейту мен бөлудің негізгі есептері сияқты оңай шешуге болады. Күрделі сұрақтар үшін қосымша күш қажет. Бірақ дұрыс көзқараспен кез келген қиын мәселені шешуге болады. Бұл мақала арқылы біз квадрат түбірлік мәселелерді бірнеше қарапайым қадаммен шешуге көмектесеміз.

Қадам

3 бөліктің 1 бөлігі: Квадраттар мен квадрат түбірлерді түсіну

1 -қадам. Квадрат - санның өзіне көбейтілген сан

Квадрат түбірін түсіну үшін алдымен квадраттың мағынасын түсінген жөн. Қарапайым тілмен айтқанда, квадрат - санның өзіне көбейтілген сан. Мысалы, 3 квадрат 3 есе 3 = 9 және 9 квадрат 9 есе 9 = 81. Квадрат санның квадратының оң жақ жоғарғы жағындағы кішкентай 2 -мен бейнеленген - келесідей: 3², 9², 100²және т.

Бұл тұжырымдаманы тексеру үшін басқа сандарды квадраттап көріңіз. Есіңізде болсын, санды квадраттау - бұл санды өздігінен көбейту. Теріс сандарды квадраттауға да болады. Нәтиже әрқашан оң сан болады. Мысалы, -8² = -8 × -8 = 64.

2 -қадам. Квадрат түбірі - квадраттың кері мәні

Квадрат түбірдің символы (√, «радикалды» символы деп те аталады) символға қарама -қарсы ². Егер сіз радикалды тапқан болсаңыз, өзіңізден сұраңыз: егер квадрат болса, қандай сан радикалдың ішіндегі санға әкеледі? Мысалы, √ (9) қарасаңыз, квадратта тоғыз болатын санды табыңыз. Осылайша, жауап «үш», себебі 3² = 9.

• Басқа мысал ретінде 25 (√ (25)) квадрат түбірін табуға тырысайық. Яғни, біз квадрат кезінде нәтиже 25 болатын санды іздейміз, себебі 5² = 5 × 5 = 25, содан кейін (25) =

  5 -қадам..

• Квадрат түбірін квадратты «жою» деп санауға болады. Мысалы, егер біз 64 -тің түбірін (64) тапқымыз келсе, онда 64 -ті 8 -ге тең деп ойлаңыз². Квадрат түбір таңбасы квадрат таңбасын «жоққа шығарады», сондықтан (64) = (8²) =

  8 -қадам..

Қадам 3. Мінсіз және жетілмеген квадраттардың айырмашылығын білу

Осы уақытқа дейін квадрат түбірлік есептеулеріміздің нәтижелері бүтін сандар болды. Кейінірек кездесетін сұрақтар оңай болмайды, үтірдің артында бірнеше цифры бар ондық сандары бар сұрақтар болады. Квадратталғаннан кейін дөңгелектелген сандар (яғни бөлшек немесе ондық сандар емес) «мінсіз квадраттар» деп те аталады. Алдыңғы мысалдардың барлығы (9, 25 және 64) мінсіз квадраттар, себебі егер олар квадратталса, нәтиже бүтін сан болады (3, 5 және 8).

Екінші жағынан, квадратталғаннан кейін дөңгелектенбеген сандар «жетілмеген квадраттар» болып табылады. Әдетте, квадраттан кейін нәтиже бөлшек немесе ондық сан болады. Кейде тіпті сандар өте күрделі болып көрінеді, мысалы (13) = 3, 605551275464…

4-қадам. 1-12 сандарының квадратын жаттаңыз

Өздеріңіз білетіндей, мінсіз шаршы санды квадраттау өте оңай. 1-12 сандарының квадраттарын есте сақтау өте пайдалы болуы мүмкін, себебі бұл сандар есепте көп пайда болады. Осылайша сіз сұрақтармен жұмыс жасау кезінде уақытты үнемдейсіз. Алғашқы 12 квадрат сан:

• 1² = 1 × 1 =

  1 -қадам.

• 2² = 2 × 2 =

  4 -қадам.

• 3² = 3 × 3 =

  9 -қадам.

• 4² = 4 × 4 =

  16 -қадам.

• 5² = 5 × 5 =

  25 -қадам.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

Қадам 5. Керемет квадраттарды алып тастау арқылы квадрат түбірді жеңілдетіңіз

Кемелсіз квадрат санының квадрат түбірін табу қиын болуы мүмкін, әсіресе егер сіз калькуляторды пайдаланбасаңыз. Дегенмен, квадратталатын санды есептеуді жеңілдету үшін жеңілдетуге болады. Ол үшін радикалдың ішіндегі санды бірнеше факторларға бөліп, содан кейін мінсіз квадрат сандардың квадрат түбірін алып тастап, радикалдың сыртында жауапты жазыңыз. Бұл әдісті орындау өте оңай - сізге жақсы түсінік беру үшін мына жерде көбірек түсініктеме бар:

• 900 квадрат түбірін есептегіміз келеді делік. 900 -ді оның факторларына бөліңіз. «Факторлар» - бұл басқа санды шығару үшін көбейтуге болатын сандар. Мысалы, 6 санын көбейту арқылы алуға болады және 1 × 6 және 2 × 3, сондықтан 6 коэффициенттері 1, 2, 3 және 6 болады.
• Осы принципті ескере отырып, 900 -ді оның факторларына бөлейік. Бастау үшін біз 900 -ді 9 × 100 деп жазамыз. 9 - тамаша квадрат болғандықтан, 100 -дің түбірін бөлек алуға болады. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Басқаша айтқанда, (900) = 3√(100).

• Біз оны 100 -ді 25 -ке және 4 -ке бөлу арқылы жеңілдете аламыз. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Сондықтан есептеуге болады (900) = 3 (10) =

  30 -қадам..

Қадам 6. Теріс санның квадрат түбірі үшін қиялдағы санды қолданыңыз

Ойланыңыз, егер нәтиже квадратқа -16 болса, қандай сан болады? Жауап, жоқ. Барлық сандар нәтижесі әрқашан оң болады, себебі ол теріс (-), теріске көбейткенде оң (+) болады. Сонымен, теріс санды квадраттау үшін теріс санды ойдан шығарылған санмен ауыстыру керек (әдетте әріптер немесе таңбалар түрінде). Мысалы, «i» айнымалысы әдетте -1 квадрат түбірі үшін қолданылады. Қиялы сан әрқашан теріс санның квадрат түбірінде болады.

Айта кету керек, ойдан шығарылған сандар ешқашан сандармен көрсетілмесе де, оларды әр түрлі жолмен сан ретінде қарастыруға болады. Мысалы, теріс санның квадрат түбірін шаршы түбірді жою үшін квадраттауға болады. Мысалы, мен² = - 1

3 -тің 2 -бөлігі: Ұзын бөлу стилінің алгоритмін қолданыңыз

Қадам 1. Ұзын бөлу сияқты квадрат түбірлік есептерді шешіңіз

Уақытты қажет етсе де, күрделі квадрат түбірлік есептерді калькуляторсыз шешуге болады. Ол үшін біз ұзақ стек бөлуге ұқсас әдісті (немесе алгоритмді) қолданамыз.

• Ұзын бөлу мәселесі сияқты квадрат түбірлік есепті жазудан бастаңыз. Мысал ретінде 6, 45 түбірін табыңыз, ол бүтін сан емес. Алдымен (√) радикалды таңбасын жазамыз, содан соң оның квадратына алғымыз келетін санды жазамыз. Содан кейін сандардың үстіне сызық салыңыз, дәл ұзын қабаттасу. Енді «√» белгісі оның төменгі жағында 6,45 саны бар құйрығы бар сияқты.
• Біз есептің үстіндегі сандарды жазамыз, сондықтан бос орын қалдырғаныңызға көз жеткізіңіз.

Қадам 2. Санның цифрларын жұптарға топтастыр

Алдымен, радикал астындағы санның цифрларын ондық бөлшектен бастап жұптарға топтаңыз. Оңай бақылау үшін жұптар арасында қандай да бір маркер (нүкте, үтір, сызық және т.б.) жасаңыз.

Мысал есебінде 6, 45 бөлінеді 6-, 45-00. Есіңізде болсын, сол жақта «қалған» цифрлар бар - бұл мәселе емес.

3 -қадам. Квадрат мәні бірінші топтан кіші немесе оған тең болатын ең үлкен санды табыңыз

Сол жақтағы топтағы бірінші нөмірден бастаңыз. Квадрат мәні топта кіші немесе тең болатын ең үлкен санды таңдаңыз. Мысалы, егер топ 37 болса, 6 -ны таңдаңыз, себебі 6² = 36 <37 бірақ 7² = 49> 37. Бұл санды бірінші топтың үстіне жазыңыз. Бұл сан сіздің жауабыңыздың бірінші цифры.

• Мысал есебінде 6-, 45-00 бірінші тобы-6. Квадрат болғанда 6-дан кіші немесе тең болатын ең үлкен сан

  2 -қадам. - 2² = 4. 6 -дан жоғары «2» санын жазыңыз, ал құйрық - бұл радикал.

4 -қадам. Жаңа жазған санды көбейтіңіз, содан кейін төмен түсіріңіз, содан кейін азайтыңыз

Жауабыңыздың бірінші цифрын алыңыз (радикалдың үстінде жазылған) және оны көбейтіңіз. Жауапты бірінші топтың астына жазып, айырмасын табу үшін азайтыңыз. Келесі топты сіз есептеген айырмашылықтың оң жағына қойыңыз. Соңында, жауабыңыздың бірінші цифрын көбейтудің соңғы цифрын солға жазыңыз және оң жақта бос орын қалдырыңыз.

Мысал есебінде екі еселенген сан - 2 (алдыңғы жауаптың бірінші цифры). 2 × 2 = 4. Содан кейін 4 -тен 6 -ға дейін азайтыңыз (бірінші топтан). 6 - 4 нәтижесі - 2. Келесі топты (45) түсіріңіз, біз 245 аламыз. Ақырында, қайтадан солға 4 санын жазып, оң жақта кішкене бос орын қалдырыңыз, мысалы: 4_

Қадам 5. Бос орынды толтырыңыз

Сол жақта жазған санның оң жағындағы сандарды қосыңыз. Осы жаңа санға көбейтілгенде ең үлкен мән беретін, бірақ әлі де «алынған саннан» кем немесе оған тең санды таңдаңыз. Мысалы, егер «алынған сан» 1700 болса және сіздің сол жағыңыздағы сан 40_ болса, 404 × 4 = 1616 <1700, себебі 405 × 5 = 2025 болса, енгізілуі тиіс нөмір «4» болады. бұл қадам сіздің жауабыңыздың екінші цифры, сондықтан оны түбегейлі таңбаның үстіне жазыңыз.

• Мысал есебінде біз 4_ × _ жанындағы санды іздейміз, оның жауабы ең үлкен сан, бірақ 245 -тен кіші немесе оған тең. Жауабы -

  5 -қадам.. 45 × 5 = 225, ал 46 × 6 = 276.

Қадам 6. Жауап табу үшін «бос орын» сандарын қолдануды жалғастырыңыз

Алынған сандардың азайтылуы арасындағы айырмашылық нөлге тең болмайынша немесе өте дәл сан алынғанша ұзақ жиналмалы бөлу үлгісін жалғастырыңыз. Аяқтағаннан кейін, әр қадамдағы бос орындарды толтыратын сандар (плюс сіз қолданған бірінші сан) жауаптың әр цифрын құрайды.

• Мысал есебінде 245 -ті 220 -ға азайтып, 20 -ны алыңыз. Содан кейін біз келесі цифрлар тобын 00 -ге түсіріп, 2000 -ды аламыз. Радикалды таңбаның үстіндегі санды көбейтіп, біз 25 × 2 = 50 аламыз. Толтыру үшін. бос орындарда 50_ × _ =/<2, 000, біз санды аламыз

  3 -қадам.. Енді бізде түбегейлі таңбаның үстінде «253» бар - бұл процесті қайталаңыз және келесі цифрда 9 алыңыз.

Қадам 7. Ондық белгіні бастапқы нүктеден алып тастаңыз

Соңғы жауапты алу үшін ондық бөлшекті дұрыс орынға қойыңыз. Бұл оңай - ондық бөлшекті радикалды таңбаның астындағы ондық нүктеге сәйкес қойыңыз. Мысалы, радикалдың астындағы сан 49, 8, сондықтан 8 мен 9 -дан жоғары сандардың арасына ондық нүктені қойыңыз.

Мысал есебінде, егер радикалдың астындағы сан 6, 45 болса, онда ондық бөлшек 2 мен 5 цифрларының арасында болады. Бұл соңғы жауапты білдіреді. 2, 539.

3 бөліктің 3 бөлігі: Жетілмеген квадраттарды жылдам бағалау

Қадам 1. Апроксимация көмегімен кемелсіз квадратты табыңыз

Керемет квадраттарды есте сақтағаннан кейін, жетілмеген квадраттарды табу әлдеқайда жеңіл болады. Айла - сіз іздеген нөмірге дейін және кейін мінсіз квадрат табу. Содан кейін сіз іздеген санға ең жақсы екі шаршының қайсысы жақын екенін анықтаңыз.

Мысалы, біз 40 -тың квадрат түбірін тапқымыз келеді. 40 -қа дейінгі және кейінгі мінсіз квадрат саны - 6² және 7², бұл 36 мен 49. 40 -тан үлкен және 49 -дан кіші болғандықтан, 40 -тың квадрат түбірі 6 -дан 7 -ге дейін болуы керек. 40 саны 49 -дан 36 -ға жақын, сондықтан 40 -тың квадрат түбірі 6 -ға жақын Дәл жауапты табу үшін бірнеше қадамдар бар.

Қадам 2. Квадрат түбірді үтірден кейін бір санға дейін бағалаңыз

Сіз іздейтін санға дейін және кейін екі мінсіз шаршы санды анықтаған кезде, қалғаны - жауапқа ең жақын үтірдің артындағы санды табу процесі. Үтірден кейін есептелген бір таңбалы саннан бастаңыз. Сіз қалаған дәлдікпен жауап алғанша бұл процесс қайталана береді.

Мысал есебінде 40 квадрат түбірінің ақылға қонымды жақындауы 6, 4, себебі жауап 7 -ге қарағанда 6 -ға жақын болуы мүмкін.

3 -қадам. Болжамды санды санның өзіне көбейтіңіз

Басқаша айтқанда, сіздің шамамен алынған санды квадраттаңыз. Егер сіз бақытты болсаңыз, нәтиже мәселедегі сан болады. Олай болмаған жағдайда, есепте санға ең жақын квадрат табылғанша үтірден кейінгі сандарды қосуды немесе азайтуды жалғастырыңыз.

• 6, 4 × 6, 4 = 6, 4, 6, 4 көбейту керек 40, 96, бұл 40 -тан сәл жоғары.
• Бастапқы эксперимент артық болғандықтан, жуықтауды ондық бөлшекке азайтыңыз, ол 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Бұл нәтиже мәселенің санынан сәл төмен. Бұл 40 -тың квадрат түбірі 6, 3 пен 6, 4 аралығында екенін білдіреді. Содан кейін, 39.69 40 -қа жақын болғандықтан, 40 -тың квадрат түбірі де 6, 3 -ке жақын.

Қадам 4. Қажетіне қарай болжамды алға жылжыту

Егер сіз жеткілікті дәл деп ойласаңыз, жауапты қолданыңыз. Бірақ егер олай болмаса, үтірден кейін үш немесе төрт цифрдан тұратын жауап табылмайынша, жоғарыда келтірілген үлгіні жалғастырыңыз - бәрібір, сіз қалаған дәлдік деңгейіне жеткенше.

Мысал мәселесінде үтірдің артындағы шамамен екі цифр ретінде 6, 33 таңдап көрейік. 6, 33 квадрат және нәтиже 6, 33 × 6, 33 = 40, 0689. Нәтиже есептегі саннан жоғары болғандықтан, үтірден кейінгі екінші санды 6, 32. 6, 32 × дейін қысқартуға тырысамыз. 6, 32 = 39, 9424. Бұл нәтиже есептегі саннан сәл төмен. Демек, 40 -тың квадрат түбірі арасында 6, 33 және 6, 32. Егер сіз дәлірек жауап алғыңыз келсе, үтірден кейін үш немесе төрт, тіпті бес цифрмен жалғастырыңыз.

Кеңестер

Ең жылдам шешім үшін калькуляторды қолданыңыз. Қазіргі заманғы калькуляторлар енді квадрат түбірді тез таба алады. Әдетте, сіз іздеген нөмірді енгізіңіз, содан кейін радикалды белгісі бар түймені басыңыз. Мысалы, 841 квадрат түбірін табу үшін 8, 4, 1, (√) түймесін басыңыз, сонда жауап пайда болады. 39.