Квадрат теңдеу - бұл ең жоғары дәрежесі 2 (квадрат) болатын теңдеу. Квадрат теңдеуді шешудің үш негізгі әдісі бар: егер мүмкін болса, квадрат теңдеуді көбейту, квадрат формуланы қолдану немесе шаршыны аяқтау. Егер сіз осы үш әдісті меңгергіңіз келсе, мына қадамдарды орындаңыз.
Қадам
3 -ші әдіс 1: Факторингтік теңдеулер
Қадам 1. Барлық тең айнымалыларды біріктіріп, оларды теңдеудің бір жағына жылжытыңыз
Факторинг теңдеуінің бірінші қадамы - барлық тең айнымалыларды теңдеудің бір жағына жылжыту, x көмегімен2оң болып табылады. Айнымалыларды біріктіру үшін барлық x айнымалыларын қосыңыз немесе азайтыңыз2, x және тұрақтылар (бүтін сандар), оларды басқа жақта ештеңе қалмайтындай етіп басқа жаққа жылжытыңыз. Басқа жақта айнымалылар болмаған кезде, теңдік белгісінің жанына 0 жазыңыз. Міне, мұны қалай жасауға болады:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
2 -қадам. Бұл теңдеудің факторы
Бұл теңдеуді анықтау үшін x коэффициентін қолдану керек2 (3) және тұрақты коэффициент (-4), оларды көбейтіп, ортасына айнымалыға сәйкес келтіру үшін қосу, (-11). Міне, мұны қалай жасауға болады:
- 3x2 мүмкін болатын бір ғана фактор бар, ол 3x және x, оларды жақшаға жазуға болады: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Содан кейін -11x шығатын өнімді табу үшін жою процесін 4 -ке көбейтіңіз. Сіз 4 пен 1 -нің немесе 2 мен 2 -нің көбейтіндісін пайдалана аласыз, себебі екеуін көбейткенде сіз 4 -ке ие боласыз. Бірақ есіңізде болсын, нәтиже -4 болғандықтан сандардың бірі теріс болуы керек.
- (3x + 1) (x - 4) көріңіз. Оны көбейткенде нәтиже - 3 есе2 -12x +x -4. Егер сіз -12 x және x айнымалыларын біріктірсеңіз, нәтиже -11x болады, бұл сіздің орташа мәніңіз. Сіз жай ғана квадрат теңдеуді шығардыңыз.
- Мысалы, басқа өнімді көбейтуге тырысайық: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Егер айнымалыларды біріктірсеңіз, нәтиже 3x болады2 -4x -4. -2 және 2 коэффициенттері -4 көбейтілсе де, орташа мән бірдей емес, себебі сіз -4x орнына -11x мәнін алғыңыз келеді.
3 -қадам. Әр жақша әр түрлі теңдеуде нөлге тең деп есептейік
Бұл сіздің теңдеуіңізді нөлге айналдыратын 2 x мәнін табуға мүмкіндік береді. Сіз өзіңіздің теңдеуіңізді анықтадыңыз, сондықтан сіз әр жақшадағы есепті нөлге тең деп санауыңыз керек. Осылайша сіз 3x + 1 = 0 және x - 4 = 0 деп жаза аласыз.
4 -қадам. Әр теңдеуді бөлек шешіңіз
Квадрат теңдеуде х үшін 2 мән бар. Айнымалыларды жылжыту және х үшін 2 жауапты жазу арқылы әр теңдеуді бөлек шешіңіз:
-
3x + 1 = 0 шешіңіз
- 3x = -1….. азайту арқылы
- 3x/3 = -1/3….. бөлу арқылы
- x = -1/3….. жеңілдету арқылы
-
X - 4 = 0 шешіңіз
x = 4….. азайту арқылы
- x = (-1/3, 4)….. бірнеше ықтимал жауаптарды бөлу арқылы, яғни x = -1/3 немесе x = 4 екеуі де дұрыс болуы мүмкін.
5 -қадам. (3x + 1) (x -4) = 0 дюйміндегі x = -1/3 тексеріңіз:
Осылайша аламыз (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. (-1 + 1) (-4 1/3) ауыстыру арқылы? =? 0….. (0) (-4 1/3) = 0….. көбейту арқылы жеңілдету арқылы, 0 = 0….. Иә, x = -1/3 дұрыс.
Қадам 6. x 3x 4 ді (3x + 1) (x - 4) = 0 тексеріңіз:
Осылайша аламыз (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. (13) (4 - 4) ауыстыру арқылы? =? 0….. (13) (0) = 0….. көбейту арқылы жеңілдету арқылы, 0 = 0….. Иә, x = 4 ақиқат.
Сонымен, бөлек тексергеннен кейін екі жауап та дұрыс және оларды теңдеулерде қолдануға болады
3 әдіс 2: Квадрат формуланы қолдану
Қадам 1. Барлық тең айнымалыларды біріктіріп, оларды теңдеудің бір жағына жылжытыңыз
Барлық айнымалыларды x айнымалысының мәнімен теңдеудің бір жағына жылжытыңыз2 оң Айнымалыларды тізбектей экспоненттері бар етіп жазыңыз, сонда x болады2 алдымен жазылады, одан кейін айнымалылар мен тұрақтылар жазылады. Міне, мұны қалай жасауға болады:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
2 -қадам. Квадрат формуланы жазыңыз
Квадрат формула: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
3 -қадам. Квадрат теңдеуден a, b және c мәндерін анықтаңыз
A айнымалысы - x коэффициенті2, b - х айнымалысының коэффициенті, ал с - тұрақты. 3х теңдеу үшін2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 және c = -8. Үшеуін де жазыңыз.
4 -қадам. Теңдеудегі a, b және c мәндерін ауыстырыңыз
Үш айнымалы мәнді білгеннен кейін оларды келесі теңдеуге қосыңыз:
- {-b +/- √ (б2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
5 -қадам. Есептеулерді орындаңыз
Сандарды енгізгеннен кейін, оң немесе теріс таңбаны жеңілдету, қалған айнымалыларды көбейту немесе квадраттау үшін математика жасаңыз. Міне, мұны қалай жасауға болады:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Қадам 6. Квадрат түбірді жеңілдетіңіз
Егер түбір астындағы сан мінсіз квадрат болса, бүтін сан шығады. Егер сан мінсіз квадрат болмаса, оның қарапайым түбірлік түрін жеңілдетіңіз. Егер сан теріс болса және сіз теріс болуы керек деп ойласаңыз, түбірлік мән күрделі болады. Бұл мысалда, (121) = 11. Сіз x = (5 +/- 11)/6 деп жаза аласыз.
Қадам 7. Оң және теріс жауаптарды іздеңіз
Квадрат түбір белгісін алып тастағаннан кейін, x үшін оң және теріс нәтижені табуға болады. Енді сізде (5 +/- 11)/6, сіз 2 жауапты жаза аласыз:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Қадам 8. Оң және теріс жауаптарды толықтырыңыз
Математикалық есептеулерді орындаңыз:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Қадам 9. Оңайлатыңыз
Әр жауапты жеңілдету үшін екі санды да бөлуге болатын ең үлкен санға бөліңіз. Бірінші бөлшекті 2 -ге бөліп, екіншісін 6 -ға бөліңіз, сонда сіз x мәнін таптыңыз.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
3 -тің 3 әдісі: Шаршыны толтырыңыз
Қадам 1. Барлық айнымалыларды теңдеудің бір жағына жылжытыңыз
A немесе x айнымалысы екеніне көз жеткізіңіз2 оң Міне, мұны қалай жасауға болады:
- 2x2 - 9 = 12х =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Бұл теңдеуде а айнымалысы 2, b айнымалысы -12, с айнымалысы -9
2 -қадам. Айнымалы немесе с тұрақтысын басқа жаққа жылжытыңыз
Тұрақтылар - айнымалысы жоқ сандық мүшелер. Теңдеудің оң жағына жылжытыңыз:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Қадам 3. Екі жағын а коэффициентіне немесе х айнымалысына бөліңіз2.
Егер x2 айнымалысы жоқ және коэффициенті 1, бұл қадамды өткізіп жіберуге болады. Бұл жағдайда барлық айнымалыларды 2 -ге бөлу керек:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Қадам 4. b -ны 2 -ге бөліп, квадраттап, нәтижені екі жағына қосыңыз
Бұл мысалдағы b мәні -6. Міне, мұны қалай жасауға болады:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Қадам 5. Екі жағын да жеңілдетіңіз
Сол жақтағы айнымалы мәнді (x-3) (x-3) немесе (x-3) алу үшін факторлаңыз.2. Оңға мәндерді қосыңыз, 9/2 + 9 немесе 9/2 + 18/2, яғни 27/2.
Қадам 6. Екі жақтың квадрат түбірін табыңыз
(X-3) квадрат түбірі2 (x-3) болып табылады. 27/2 квадрат түбірін ± √ (27/2) түрінде жаза аласыз. Осылайша, x - 3 = ± √ (27/2).
Қадам 7. Түбірлерді жеңілдетіп, х мәнін табыңыз
± √ (27/2) жеңілдету үшін 27 мен 2 сандарының арасындағы тамаша квадратты немесе осы санды көбейткішті табыңыз. 9 -дың тамаша квадратын 27 -де табуға болады, себебі 9 x 3 = 27. Квадрат түбірден 9 -ды шығару үшін, түбірден 9 -ды алып, квадрат түбірдің сыртына 3, шаршы түбірді жаз. Қалған 3 -ті квадрат түбірдің астындағы бөлшектің бөлгішінде қалдырыңыз, себебі 27 барлық факторларды есептемейді және төменге 2 жазыңыз. Содан кейін, теңдеудің сол жағындағы 3 тұрақтысын оңға жылжытыңыз және x үшін екі шешіміңізді жазыңыз:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Кеңестер
- Көріп отырғаныңыздай, түбірлік белгілер толығымен жойылмайды. Осылайша, санауыш айнымалыларды біріктіру мүмкін емес (себебі олар тең емес). Оны оң немесе теріс деп бөлудің еш мәні жоқ. Дегенмен, біз оны бірдей факторға бөле аламыз, бірақ ТЕК егер факторлар екі тұрақтылық үшін бірдей болса ЖӘНЕ түбірлік коэффициент.
- Егер квадрат түбірдің астындағы сан мінсіз квадрат болмаса, онда соңғы қадамдар сәл өзгеше болады. Міне мысал:
- Егер b жұп сан болса, формула: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a болады.
