3 Кубтық теңдеулерді шешу жолдары

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-16 19:40

Сіз текше теңдеуін тапқан кезде (ол балта түрінде болады) ³ + bx ² + cx + d = 0), мүмкін сіз мәселені шешу қиын болады деп ойлайсыз. Бірақ біліңіз, текше теңдеулерді шешу ғасырлар бойы болған! 1500 жылдары итальян математиктері Никколо Тарталья мен Героламо Кардано тапқан бұл шешім ежелгі Греция мен Римде белгілі болған алғашқы формулалардың бірі болып табылады. Кубтық теңдеулерді шешу біршама қиын болуы мүмкін, бірақ дұрыс көзқараспен (және жеткілікті біліммен) тіпті ең қиын текше теңдеулерін шешуге болады.

Қадам

3 -ші әдіс 1: Квадрат теңдеулерді қолдану арқылы шешу

1 -қадам. Сіздің текше теңдеуіңіз тұрақты екенін тексеріңіз

Жоғарыда айтылғандай, кубтық теңдеудің формасы - балта ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, және d мәні текше теңдеуінің формасына әсер етпей 0 болуы мүмкін; бұл негізінен текше теңдеуі әрқашан bx мәнін қосудың қажеті жоқ дегенді білдіреді ², cx немесе d текше теңдеуі болады. Кубтық теңдеулерді шешудің осы қарапайым әдісін қолдануды бастау үшін текше теңдеуінің тұрақты (немесе d мәні) бар -жоғын тексеріңіз. Егер сіздің теңдеуіңізде d тұрақтысы немесе мәні болмаса, онда бірнеше қадамнан кейін текше теңдеуінің жауабын табу үшін квадрат теңдеуді қолдануға болады.

Екінші жағынан, егер сіздің теңдеуіңіз тұрақты мәнге ие болса, онда сізге басқа шешім қажет болады. Басқа әдістер үшін төмендегі қадамдарды қараңыз

2 -қадам. X мәнін текше теңдеуінен факторлаңыз

Сіздің теңдеудің тұрақты мәні болмағандықтан, ондағы барлық компоненттердің х айнымалысы бар. Бұл x мәнін жеңілдету үшін теңдеудің есебінен шығаруға болатынын білдіреді. Бұл қадамды орындаңыз және текше теңдеуіңізді x (ax) түрінде қайта жазыңыз ² + bx + c).

Мысалы, мұндағы бастапқы текше теңдеуі 3 x деп айтайық ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Осы теңдіктен бір х айнымалысын көбейту арқылы біз теңдеуді аламыз x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

3 -қадам. Квадрат теңдеулерді қолданып, жақшадағы теңдеулерді шешіңіз

Сіз жақшаға алынған кейбір жаңа теңдеулердің квадрат теңдеу (балта) түрінде екенін байқай аласыз. ² + bx + c). Бұл a, b және c квадрат теңдеу формуласына ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Кубтық теңдеудің екі жауабын табу үшін осы есептеулерді орындаңыз.

• Біздің мысалда a, b және c (сәйкесінше 3, -2 және 14) мәндерін келесідей квадрат теңдеуге қосыңыз:

  {- b +/- √ (б ²- 4 айн)}/2 а

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Жауап 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• Жауап 2:

  {2 - 12.8 i}/6

4 -қадам. Нөлдер мен квадрат теңдеудің жауабын кубтық теңдеуге жауап ретінде пайдаланыңыз

Квадрат теңдеулерде екі жауап болады, текше теңдеулерде үш жауап болады. Сіз үш жауаптың екеуін білесіз; Сіз жақшаның ішіндегі теңдеудің «квадрат» бөлігінен аласыз. Егер сіздің текше теңдеуіңізді «факторизация» арқылы шешуге болатын болса, сіздің үшінші жауабыңыз әрқашан дерлік болады 0. Қауіпсіз! Сіз текше теңдеуін шештіңіз.

Бұл әдісті қолданудың себебі - «кез келген санды нөлге көбейту нөлге тең» деген негізгі факт. Теңдеуді x (ax) түріне келтіргенде ² + bx + c) = 0, сіз оны тек екі «бөлікке» бөлесіз; бір бөлігі сол жақтағы x айнымалысы, ал екінші бөлігі жақшалардағы квадрат теңдеу. Егер осы екі бөліктің біреуі нөлге тең болса, онда бүкіл теңдеу де нөлге тең болады. Жақшадағы квадрат теңдеудің нөлге тең болатын екі жауабы текше теңдеуінің жауаптары, сонымен қатар 0 -дің өзі сол жақ бөлікті де нөлге айналдырады.

3 -тің 2 әдісі: Факторлық тізім арқылы бүтін жауаптарды табу

Қадам 1. Кубтық теңдеудің тұрақты мәні бар екеніне көз жеткізіңіз

Жоғарыда сипатталған әдістерді қолдану өте оңай болғанымен, оларды қолдану үшін жаңа есептеу техникасын үйренудің қажеті жоқ, олар текше теңдеулерін шешуге әрқашан көмектеспейді. Егер сіздің кубтық теңдеуіңіз балта түрінде болса ³ + bx ² + cx + d = 0, мұнда d мәні нөлге тең емес, жоғарыдағы «факторизация» әдісі жұмыс істемейді, сондықтан оны шешу үшін осы бөлімдегі әдістердің бірін қолдану қажет болады.

Мысалы, бізде 2 x теңдеуі бар делік ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Бұл жағдайда теңдеудің оң жағында нөлді алу үшін екі жағына да 6 қосу керек. Осыдан кейін біз 2 x жаңа теңдеуін аламыз ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 мәнімен, сондықтан біз бұрынғы әдіс сияқты «факторизация» әдісін қолдана алмаймыз.

2 -қадам. А және d факторларын табыңыз

Кубтық теңдеуді шешу үшін а коэффициентін (x коэффициентін) табудан бастаңыз ³) және d (теңдеудің соңындағы тұрақты мән). Есіңізде болсын, факторлар - бұл белгілі бір санды шығару үшін бір -біріне көбейтілетін сандар. Мысалы, 6 × 1 және 2 × 3 көбейту арқылы 6 алуға болады, 1, 2, 3 және 6 - 6 коэффициенттері.

• Біз қолданатын мысалда а = 2 және d = 6. 2 коэффициенті - бұл 1 және 2. 6 коэффициенті болса 1, 2, 3 және 6.

  

  3 -қадам. А коэффициентін d көбейткішіне бөліңіз

  Әрі қарай, әрбір а факторын d әр факторына бөлу арқылы алатын мәндерді тізімдеңіз. Бұл есептеу әдетте көптеген бөлшек мәндерге және бірнеше бүтін сандарға әкеледі. Кубтық теңдеуді шешуге арналған бүтін сан - есептеуден алынған бүтін сандардың бірі.

  Біздің теңдеуде a (1, 2) коэффициентінің мәнін d (1, 2, 3, 6) коэффициентіне бөліңіз және келесі нәтижелерді алыңыз: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, және 2/3. Содан кейін тізімге теріс мәндерді қосыңыз, біз мынаны аламыз: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 және -2/3. Бүкіл сан болатын кубтық теңдеуге жауап тізімде.

  

  Қадам 4. Жауаптарды қолмен тексеру үшін синтетикалық бөлуді пайдаланыңыз

  Сізде жоғарыдағыдай мәндер тізімі болғаннан кейін, әрбір бүтін санды қолмен енгізу арқылы текше теңдеуіңізге жауап болатын бүтін мәндерді іздеуге және қай мән нөлге оралатынын табуға болады. Алайда, егер сіз мұны уақытты өткізгіңіз келмесе, оны тезірек жасауға болады, атап айтқанда синтетикалық бөлу. Негізінде, сіз бүтін мәніңізді текше теңдеуіңіздегі a, b, c және d бастапқы коэффициенттеріне бөлесіз. Егер қалдық нөлге тең болса, онда бұл мән текше теңдеуіне жауаптардың бірі болып табылады.

  • Синтетикалық бөліну - күрделі тақырып - қосымша ақпарат алу үшін төмендегі сілтемені қараңыз. Міне, текше теңдеуіне синтетикалық бөлінумен жауаптардың бірін қалай табуға болатынын көрсететін мысал:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Біз соңғы нәтижені 0 -ге тең болғандықтан, біз білеміз, біздің кубтық теңдеуге жауап беретін бүтін сан - 1.

  3 -ші әдіс 3: Дискриминантты әдісті қолдану

  

  Қадам 1. a, b, c және d теңдеулерін жазыңыз

  Кубтық теңдеудің жауабын осылайша табу үшін біз өз теңдеуіміздегі коэффициенттермен көптеген есептеулер жүргіземіз. Осыған байланысты, кез келген мәнді ұмытып кетпес бұрын, a, b, c және d мәндерін жазып алған дұрыс.

  Мысалы, x теңдеуі үшін ³ - 3 x ² + 3 x -1, оны a = 1, b = -3, c = 3 және d = -1 деп жазыңыз. Х айнымалысының коэффициенті болмаған кезде оның мәні 1 болатынын ұмытпаңыз.

  

  2 -қадам. 0 = b есептеңіз ² - 3 кондиционер.

  Кубтық теңдеулерге жауап табудағы дискриминантты тәсіл күрделі есептеулерді қажет етеді, бірақ егер сіз қадамдарды мұқият орындасаңыз, бұл басқа жолмен шешуге қиын кубтық теңдеулерді шешу үшін өте пайдалы болуы мүмкін. Бастау үшін, сәйкес мәнді b формуласына қосып, бізге қажет бірнеше мәннің бірінші маңызды мәні болып табылатын 0 мәнін табыңыз. ² - 3 кондиционер.

  • Біз қолданатын мысалда біз оны келесідей шешеміз:

    б ² - 3 жыл

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  3 -қадам. 1 = 2 b есептеңіз ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Бізге қажет келесі маңызды мән, 1 ұзақ есептеуді қажет етеді, бірақ оны 0 сияқты табуға болады. Сәйкес мәнді 2 b формуласына қосыңыз ³ - 9 abc + 27 a ² d 1 мәнін алу үшін.

  • Бұл мысалда біз оны келесідей шешеміз:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Қадам 4. Есептеңіз = 1² - 4Δ0³) -27 а ².

  Әрі қарай, біз 0 мен 1 мәндерінің «дискриминантты» мәнін есептейміз. Дискриминант - бұл көпмүшенің түбірі туралы ақпарат беретін сан (сіз квадраттық дискриминант формуласын есте сақтаған боларсыз: b) ² - 4 кондиционер). Кубтық теңдеу жағдайында, егер дискриминанттың мәні оң болса, онда теңдеуде үш нақты сандық жауап бар. Егер дискриминант мәні нөлге тең болса, онда теңдеуде бір немесе екі нақты сандық жауап бар, ал кейбір жауаптардың мәні бірдей. Егер мән теріс болса, онда теңдеудің бір ғана нақты сандық жауабы болады, себебі теңдеудің графигі әрқашан х осін кем дегенде бір рет кесіп өтеді.)

  • Бұл мысалда 0 мен 1 = 0 болғандықтан, мәнін табу өте оңай. Біз оны тек келесі жолмен есептеуіміз керек:

    1² - 4Δ0³) -27 а ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, сондықтан біздің теңдеуде 1 немесе 2 жауап бар.

  

  5 -қадам. C = есептеңіз ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Біз үшін маңызды болатын соңғы мән - C мәні. Бұл мән текше теңдеуіміздің үш түбірін алуға мүмкіндік береді. Формулаға 1 және 0 мәндерін қосып, әдеттегідей шешіңіз.

  • Бұл мысалда біз C мәнін аламыз:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Қадам 6. Айнымалысы бар теңдеудің үш түбірін есептеңіз

  Кубтық теңдеудің түбірі (жауабы) формуламен анықталады (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 а, мұнда u = (-1 + (-3))/2 және n 1, 2 немесе 3-ке тең. Оларды шешу үшін формулаға мәндеріңізді қосыңыз-сізге бірнеше есептеулер қажет болуы мүмкін., бірақ сіз текше теңдеуінің үшеуіне де жауап алуыңыз керек!

  • Бұл мысалда біз оны n, 1, 2 және 3 -ке тең болған кездегі жауаптарды тексеру арқылы шеше аламыз. Бұл есепте алынған жауап - текше теңдеуімізге мүмкін болатын жауап - текше теңдеуіне қосылатын кез келген мән. бірдей нәтиже. 0 болса, бұл дұрыс жауап. Мысалы, егер біз 1 -ге тең жауап алсақ, егер біздің есептеу тәжірибелеріміздің бірінде 1 мәнін x теңдеуіне қосамыз. ³ - 3 x ² + 3 x - 1 соңғы нәтижені 0 -ге тең етеді. Осылайша

    1 -қадам. бұл біздің кубтық теңдеуге жауаптардың бірі.