Әр функцияның екі айнымалысы бар, яғни тәуелсіз және тәуелді. Сөзбе -сөз тәуелді айнымалының мәні тәуелсіз айнымалыға «тәуелді». Мысалы, y = f (x) = 2 x + y функциясында х - тәуелсіз айнымалы, ал у - тәуелді айнымалы (басқаша айтқанда, у - х функциясы). Белгілі х айнымалысы үшін жарамды мәндер «шығу домендері» деп аталады. Белгілі у айнымалысының жарамды мәндері «нәтиже диапазоны» деп аталады.
Қадам
3 -тің 1 -бөлігі: Функцияның доменін табу
Қадам 1. Сіз қандай функция түрін орындағыңыз келетінін шешіңіз
Функцияның домені-жарамды у мәндерін қайтаратын барлық x мәндері (көлденең ось). Функция теңдеуі квадрат, бөлшек немесе түбір болуы мүмкін. Функцияның доменін есептеу үшін бірінші кезекте теңдеудегі айнымалыларды тексеру қажет.
- Квадраттық функцияның ax формасы бар2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Бөлшектері бар функциялардың мысалдары мыналарды қамтиды: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), және басқалар.
- Түбірлері бар функцияларға мыналар жатады: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x және т.б.
Қадам 2. Доменді тиісті белгілермен жазыңыз
Функцияның доменін жазу квадрат жақшаларды [,], сонымен қатар жақшаларды (,) қолдануды қамтиды. Егер нөмір доменге тиесілі болса, төртбұрышты жақшаларды [,], ал доменде сан болмаса, жақшаларды (,) қолданыңыз. U әрпі қашықтықпен бөлінуі мүмкін домен бөліктерін байланыстыратын бірлестікті білдіреді.
- Мысалы, [-2, 10) U (10, 2] доменіне -2 және 2 кіреді, бірақ 10 саны кірмейді.
- Егер шексіздік белгісін қолдансаңыз, әрқашан жақшаларды () қолданыңыз.
3 -қадам. Квадрат теңдеудің графигін салыңыз
Квадрат теңдеулер жоғары немесе төмен ашылатын параболалық графикті шығарады. Парабола х осінде шексіздік жалғасатынын ескере отырып, квадрат теңдеулердің көпшілігінің аумағы-барлық нақты сандар. Басқаша айтқанда, квадрат теңдеуге доменді беретін сан жолындағы барлық x мәндері кіреді R (барлық нақты сандардың белгісі).
- Функцияны шешу үшін кез келген х мәнін таңдап, оны функцияға енгізіңіз. Х мәні бар функцияны шешу у мәнін қайтарады. X пен y мәндері функция графигінің (x, y) координаттары болып табылады.
- Бұл координаттарды графикке салыңыз және процесті басқа х мәнімен қайталаңыз.
- Бұл модельдегі кейбір мәндерді сызу квадраттық функцияның пішініне шолу жасайды.
4 -қадам. Егер функция теңдеуі бөлшек болса, бөлгішті нөлге тең ет
Бөлшектермен жұмыс жасағанда ешқашан нөлге бөлуге болмайды. Бөлгішті нөлге тең етіп және х мәнін табу арқылы функциядан шығарылатын мәндерді есептеуге болады.
- Мысалы: f (x) = функциясының анықталу облысын анықтаңыз (x+1)/(x - 1).
- Функцияның бөліндісі (x - 1).
- Бөлгішті нөлге тең етіп, x мәнін есептеңдер: x - 1 = 0, x = 1.
- Доменді жазыңыз: Функцияның доменіне 1 кірмейді, бірақ 1 -ден басқа барлық нақты сандарды қамтиды; сондықтан, домен (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) 1-ден басқа барлық нақты сандардың жиынтығы ретінде оқылуы мүмкін, шексіздік белгісі,, барлық нақты сандарды білдіреді. Бұл жағдайда 1 -ден үлкен және 1 -ден кіші барлық нақты сандар доменге қосылады.
5 -қадам. Егер теңдеу түбірлік функция болса, түбірлік айнымалыларды нөлден үлкен немесе тең етіп жасаңыз
Теріс санның квадрат түбірін қолдануға болмайды; сондықтан теріс санға әкелетін кез келген х мәні функцияның доменінен жойылуы керек.
- Мысалы: f (x) = (x + 3) функциясының облысын табыңыз.
- Түбірдегі айнымалылар (x + 3).
- Мәнді нөлден үлкен немесе тең етіп жасаңыз: (x + 3) 0.
- X: x -3 мәнін есептеңіз. X: x -3 үшін шешіңіз.
- Функцияның аумағына -3 -тен үлкен немесе оған тең барлық нақты сандар кіреді; сондықтан, домен [-3,).
3 бөліктің 2 бөлігі: Квадрат теңдеудің диапазонын табу
Қадам 1. Квадраттық функция бар екеніне көз жеткізіңіз
Квадраттық функцияның ax формасы бар2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Квадраттық функцияның графигі - жоғары немесе төмен ашылатын парабола. Сіз жұмыс істеп жатқан функция түріне байланысты функция диапазонын есептеудің әр түрлі әдістері бар.
Түбірлік функция немесе бөлшек функциясы сияқты басқа функциялардың диапазонын анықтаудың ең оңай жолы - графикалық калькулятор көмегімен функцияның графигі
Қадам 2. Функция шыңының х-мәнін табыңыз
Квадраттық функцияның төбесі - параболаның шыңы. Есіңізде болсын, квадраттық функцияның формасы - балта2 + bx + c. Х координатасын табу үшін x = -b/2a теңдеуін қолданыңыз. Теңдеу - нөлдік көлбеу/көлбеу теңдеуді білдіретін негізгі квадраттық функцияның туындысы (графиктің шыңында функцияның градиенті нөлге тең).
- Мысалы, 3x аралығын табыңыз2 + 6x -2.
- Шыңның x координатасын есептеңіз: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Қадам 3. Функция шыңының y мәнін есептеңіз
Шыңның сәйкес у мәнін есептеу үшін x координатасын функцияға қосыңыз. Бұл y мәні функция ауқымының шегін көрсетеді.
- Y координатасын есептеңдер: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Бұл функцияның шыңы (-1, -5).
Қадам 4. Параболаның бағытын кем дегенде тағы бір x мәнін қосу арқылы анықтаңыз
Кез келген басқа x мәнін таңдап, сәйкес у мәнін есептеу үшін оны функцияға қосыңыз. Егер у мәні шыңнан жоғары болса, парабола +∞ күйінде қала береді. Егер у мәні шыңнан төмен болса, парабола -∞ дейін жалғасады.
- X -мәнін -2 пайдаланыңыз: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Бұл есептеу (-2, -2) координаттарын қайтарады.
- Бұл координаттар параболаның (-1, -5) шыңының үстінде жалғасатынын көрсетеді; сондықтан, ауқым -5 -тен жоғары барлық у мәндерін қамтиды.
- Бұл функцияның диапазоны [-5,).
5 -қадам. Аумақты тиісті белгілермен жазыңыз
Домендер сияқты, диапазондар бірдей белгімен жазылады. Егер сан диапазонда болса, [,] төртбұрышты жақшаларды қолданыңыз, ал аралықта сан болмаса, жақшаларды (,) пайдаланыңыз. U әрпі қашықтықпен бөлінуі мүмкін диапазон бөліктерін байланыстыратын бірлестікті көрсетеді.
- Мысалы, [-2, 10) U (10, 2] диапазонына -2 және 2 кіреді, бірақ 10 саны кірмейді.
- Егер шексіздік белгісін қолдансаңыз, әрқашан жақшаларды қолданыңыз.
3 бөлімнің 3 бөлігі: Функция графигінен диапазонды табу
Қадам 1. Функцияны сызыңыз
Көбінесе функцияның диапазонын анықтаудың ең оңай жолы - оны графиктен өткізу. Көптеген түбірлік функциялардың диапазоны бар (-∞, 0] немесе [0, +∞), өйткені көлденең параболаның (бүйірлік парабола) төбесі көлденең х осінде орналасқан. Бұл жағдайда функция парабола ашылған жағдайда барлық оң у мәндерін немесе парабола төмен қарай ашылса, барлық теріс у мәндерін қамтиды. Бөлшек функцияларда функция ауқымын анықтайтын асимптоталар болады (ешқашан түзу / қисықпен қиылмаған, бірақ шексіздікке жақындатылған сызықтар).
- Кейбір түбірлік функциялар х осінің үстінде немесе астында басталады. Бұл жағдайда диапазон түбірлік функция басталатын санмен анықталады. Егер парабола y = -4 -тен басталып, жоғарыласа, онда [-4, +∞).
- Функцияны салудың ең оңай жолы - графикалық бағдарламаны немесе графикалық калькуляторды қолдану.
- Егер сізде графикалық калькулятор болмаса, функцияға x-мәнін қосу және сәйкес у мәнін алу арқылы графиктің өрескел нобайын салуға болады. Графиктің қандай болатынын түсіну үшін осы координаттарды графикке салыңыз.
Қадам 2. Функцияның минималды мәнін табыңыз
Функцияны салғаннан кейін бірден графиктің ең төменгі нүктесін анық көру керек. Егер нақты минималды мән болмаса, кейбір функциялар -∞ (шексіздік) деңгейінде жалғасатынын біліңіз.
Бөлшек функциясы асимптоталардан басқа барлық нүктелерді қамтиды. Функцияның (-∞, 6) U (6,) сияқты ауқымы бар
Қадам 3. Функцияның максималды мәнін анықтаңыз
Тағы да, графикті салғаннан кейін сіз функцияның максималды нүктесін анықтай білуіңіз керек. Кейбір функциялар +∞ деңгейінде жалғасады, сондықтан минималды мәнге ие болмайды.
4 -қадам. Аумақты тиісті белгілермен жазыңыз
Домендер сияқты, диапазондар бірдей белгімен жазылады. Егер сан диапазонда болса, [,] төртбұрышты жақшаларды қолданыңыз, ал аралықта сан болмаса, жақшаларды (,) пайдаланыңыз. U әрпі қашықтықпен бөлінуі мүмкін диапазон бөліктерін байланыстыратын бірлестікті көрсетеді.
- Мысалы, [-2, 10) U (10, 2] диапазонына -2 және 2 кіреді, бірақ 10 саны кірмейді.
- Егер шексіздік белгісін қолдансаңыз, әрқашан жақшаларды қолданыңыз.
