Жасырын функцияларды қалай шығаруға болады: 7 қадам (суреттермен)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-19 22:13

Есептеуде y үшін x түрінде жазылатын теңдеу болғанда (мысалы, y = x² -3x), туынды табу үшін негізгі математикалық әдістерді (математиктер жасырын функция туынды әдістері деп атайды) қолдану оңай. Алайда, теңдік белгісінің бір жағында тек y мүшесі бар күрделі теңдеулер үшін (мысалы, x² + ж² - 5x + 8y + 2xy² = 19), басқа тәсіл қажет. Жасырын функция туындылары деп аталатын техниканың көмегімен, егер сіз айқын функция туындыларының негіздерін білсеңіз, көп айнымалы теңдеулердің туындыларын табу оңай!

Қадам

2 -ші әдіс: Қарапайым теңдеулерді жылдам шығару

Қадам 1. Әдеттегідей x мүшелерін шығарыңыз

X сияқты көп айнымалы теңдеуді алуға тырысқанда² + ж² - 5x + 8y + 2xy² = 19, неден бастау керектігін білу қиын болуы мүмкін. Бақытымызға орай, жасырын функция туындысының бірінші қадамы ең оңай. Бастау үшін қарапайым (айқын) туындылардың ережелеріне сәйкес теңдеудің екі жағындағы х-мүшелері мен тұрақтыларын шығарыңыз. У шарттарын елемеңіз.

Жоғарыдағы қарапайым теңдеуге мысал келтіруге тырысайық. x² + ж² - 5x + 8y + 2xy² = 19 -да x: x деген екі термин бар² және -5x. Егер біз теңдеуді алғымыз келсе, алдымен осылай істеуіміз керек:

x² + ж² - 5x + 8y + 2xy² = 19

(X -дегі 2 -ге дейін жеткізіңіз² коэффициент ретінде x -5x -ті алып тастаңыз және 19 -ды 0 -ге өзгертіңіз)

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

2 -қадам. Y мүшелерін шығарып, әр мүшенің қасына (dy/dx) қосыңыз

Келесі қадам үшін x терминдерін шығарғандай, y терминдерін шығарыңыз. Бұл жолы коэффициенттерді қосқандай әр мүшенің қасына (dy/dx) қосыңыз. Мысалы, егер сіз y төмендетсеңіз², онда туынды 2y (dy/dx) болады. Қазіргі уақытта x және y бар терминдерді елемеңіз.

Біздің мысалда біздің теңдеу енді келесідей: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Біз y шығарудың келесі қадамын келесідей орындаймыз:

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

(2 -дің қуатын төмендетіңіз² коэффициенттер ретінде 8y жылы уды алып тастап, әр мүшенің қасына dy/dx қойыңыз).

2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

3 -қадам. Өнім ережесін немесе критерий ережесін x және y бар шарттар үшін қолданыңыз

Х және у әріптері бар терминдермен жұмыс жасау өте қиын, бірақ егер сіз өнімнің ережелері мен туындыларға арналған коэффициентін білсеңіз, сізге оңай болады. Егер х пен у терминдері көбейтілсе, өнім ережесін қолданыңыз ((f × g) '= f' × g + g × f '), x терминін f пен y мүшесін g ауыстырады. Екінші жағынан, егер х пен у терминдері бір -бірін жоққа шығарса, үзінді ережесін қолданыңыз ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), бөлгішті f пен бөлгішті g ауыстырады.

Біздің мысалда 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, бізде x пен y - 2xy болатын бір ғана термин бар². X пен y бір -біріне көбейтілетіндіктен, біз өнім ережесін келесі түрде шығарамыз:

2кси² = (2x) (ж²)- 2x = f және y орнатыңыз² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

(f × g) '= (2x)' × (ж²) + (2x) × (ж²)'

(f × g) '= (2) × (ж²) + (2x) × (2y (dy/dx))

(f × g) '= 2 ж² + 4кси (dy/dx)
Мұны біздің негізгі теңдеуге қосқанда, біз аламыз 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4кси (dy/dx) = 0

Қадам 4. Жалғыз (dy/dx)

Сен бітіруге жақынсың! Енді сізге тек теңдеуді шешу қажет (dy/dx). Бұл қиын сияқты, бірақ әдетте олай емес - а және b кез келген екі мүшесі (dy/dx) көбейтудің үлестірімділік қасиетіне байланысты (a + b) (dy/dx) түрінде жазылуы мүмкін екенін есте сақтаңыз. Бұл тактика оқшаулауды (dy/dx) жеңілдетуі мүмкін - жақшаның басқа жағындағы барлық басқа терминдерді жылжытыңыз, содан кейін жақшаның ішіндегі терминдерге бөліңіз (dy/dx).

Біздің мысалда біз 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y жеңілдетеміз² + 4xy (dy/dx) = 0 келесідей:

2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4кси (dy/dx) = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

(dy/dx) = (-2ж² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

(dy/dx) = (-2ж² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

2 -ші әдіс 2: Жетілдірілген техниканы қолдану

Қадам 1. Кез келген нүкте үшін (dy/dx) табу үшін (x, y) мәнін енгізіңіз

Қауіпсіз! Сіз өзіңіздің теңдеуіңізді жасырын түрде алдыңыз - бірінші әрекетте оңай жұмыс емес! Кез келген (x, y) нүктенің градиентін (dy/dx) табу үшін бұл теңдеуді қолдану нүктенің x және y мәндерін теңдеудің оң жағына қосу, содан кейін (dy/dx) табу сияқты оңай..

Мысалы, жоғарыдағы мысал теңдеуіміз үшін (3, -4) нүктесіндегі градиентті тапқымыз келеді делік. Ол үшін 3 -ті x пен -4 -ке ауыстырамыз, келесідей шешеміз:

(dy/dx) = (-2ж² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

(dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

(dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

(dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

(dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

(dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, немесе 0, 6875.

Қадам 2. Функциялар ішіндегі функциялар үшін тізбек ережесін қолданыңыз

Тізбектік ереже - есептермен жұмыс кезінде (оның ішінде туынды функцияның туынды есептерін) білудің маңызды бөлігі. Тізбек ережесінде F (x) функциясы үшін (f o g) (x), F (x) туындысы тең f '(g (x)) g' (x). Функцияның күрделі туынды есептері үшін бұл теңдеудің әр түрлі бөліктерін шығаруға болады, содан кейін нәтижелерді біріктіруге болады.

Қарапайым мысал ретінде біз күнә туындысын табуымыз керек делік (3x3² + x) үлкен синхронды функцияның туынды есебінің бөлігі ретінде sin (3х² + x) + у³ = 0. Егер біз күнәні елестететін болсақ (3x² + x) f (x) және 3x түрінде² + x (g) түрінде, туындысын келесідей табамыз:

f '(g (x)) g' (x)

(күнә (3x² + x)) '× (3x² +x) '

cos (3x² + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x² +x)

3 -қадам. X, y және z айнымалысы бар теңдеулер үшін (dz/dx) және (dz/dy) табыңыз

Негізгі есептеулерде әдеттен тыс болса да, кейбір қосымша қосымшалар екі айнымалының жасырын функцияларын шығаруды талап етуі мүмкін. Әрбір қосымша айнымалы үшін оның x -ке қатысты қосымша туындысын табу керек. Мысалы, егер сізде x, y және z болса, (dz/dy) және (dz/dx) екеуін де іздеу керек. Біз мұны x -ке қатысты теңдеуді екі рет шығару арқылы жасай аламыз - біріншіден, біз z құрамындағы терминді шығарған сайын (dz/dx) енгіземіз, екіншіден, біз шығарылған сайын (dz/dy) кірістіреміз. z. Осыдан кейін (dz/dx) және (dz/dy) шешу ғана қалады.

Мысалы, біз x -ті шығаруға тырысамыз делік³z² - 5кси⁵z = x² + ж³.
Алдымен x -ке қарсы шығамыз және (dz/dx) енгіземіз. Қажет болса, өнімнің ережесін қолдануды ұмытпаңыз!

x³z² - 5кси⁵z = x² + ж³

3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5ж⁵z - 5кси⁵(dz/dx) = 2x

3x²z² + (2x³z - 5кси⁵) (dz/dx) - 5ж⁵z = 2x

(2x³z - 5кси⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 ж⁵z

(dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 ж⁵z)/(2x³z - 5кси⁵)
Енді (dz/dy) үшін де солай жасаңыз

x³z² - 5кси⁵z = x² + ж³

2x³z (dz/dy) - 25кси⁴z - 5кси⁵(dz/dy) = 3y²

(2x³z - 5кси⁵) (dz/dy) = 3y² + 25кси⁴z

(dz/dy) = (3 ж² + 25кси⁴z)/(2x³z - 5кси⁵)