Есептеудің 4 әдісі

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-19 22:13

Туынды құралдарды максималды, минимум, шың, науа және көлбеу мәндері сияқты пайдалы сипаттамаларды алу үшін қолдануға болады. Сіз оны графикалық калькуляторсыз күрделі теңдеулердің графигіне қолдана аласыз! Өкінішке орай, туындылармен жұмыс жасау жиі жалықтырады, бірақ бұл мақала сізге бірнеше кеңестер мен амалдарды қолдануға көмектеседі.

Қадам

Қадам 1. Туынды белгілерді түсіну

Келесі екі белгі ең жиі қолданылады, дегенмен басқаларын Уикипедияда табуға болады.

• Лейбниц белгісі Бұл белгілеу теңдеуде у мен х болса, ең жиі қолданылатын белгі. dy/dx сөзбе -сөз x -ке қатысты у туындысын білдіреді. Мұны x және y әр түрлі мәндері үшін y/Δx ретінде қарастыру пайдалы болуы мүмкін. Бұл түсініктеме туынды шекті анықтауға әкеледі: lim_{сағ> 0} (f (x+h) -f (x))/сағ. Бұл туындыны екінші туындыға қолданған кезде мынаны жазу керек: d²y/dx².
• Лагранж белгісі f функциясының туындысы f '(x) түрінде де жазылады. Бұл белгі f екпінді x мәнін оқиды. Бұл белгі Лейбниц белгісінен қысқа және туындыларды функция ретінде қарау кезінде көмектеседі. Туындылықтың үлкен дәрежесін қалыптастыру үшін f -ге 'қосу керек, сондықтан екінші туынды f' '(x) болады.

2 -қадам. Туынды сөздің мағынасын және түсу себептерін түсіну

Біріншіден, сызықтық графтың көлбеуін табу үшін түзудің екі нүктесі алынады және олардың координаттары теңдеуге енгізіледі (y₂ - ж₁)/(x₂ - x₁). Бірақ оны сызықтық графиктер үшін ғана қолдануға болады. Квадрат теңдеулер мен одан жоғары сызықтар қисық болады, сондықтан екі нүктенің арасындағы айырмашылықты табу өте дәл емес. Қисық графикте жанаманың көлбеуін табу үшін екі нүкте алынады және қисық графигінің көлбеуін табу үшін жалпы теңдеуге қойылады: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx графиканың екі нүктесіндегі екі х координатасының айырмашылығы болып табылатын дельта х дегенді білдіреді. Бұл теңдеудің (y₂ - ж₁)/(x₂ - x₁), тек басқа формада. Нәтижелердің нақты болмайтыны белгілі болғандықтан, жанама әдіс қолданылды. (X, f (x)) жанамасының көлбеуін табу үшін dx 0 -ге жақын болуы керек, осылайша сызылған екі нүкте бір нүктеге бірігеді. Алайда, сіз 0-ді бөле алмайсыз, сондықтан сіз екі нүктелі мәндерді енгізгеннен кейін, теңдеудің төменгі жағынан dx жою үшін факторингті және басқа әдістерді қолдануға тура келеді. Сіз мұны жасағаннан кейін, dx 0 жасаңыз және сіз жасайсыз. Бұл (x, f (x)) жанамасының көлбеуі. Теңдеудің туындысы - графикте кез келген жанаманың еңістігін табудың жалпы теңдеуі. Бұл өте күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ туынды қалай алуға болатынын түсіндіруге көмектесетін төменде бірнеше мысалдар бар.

4 -ші әдіс 1: айқын туындылар

Қадам 1. Егер теңдеуің бір жағында у болса, анық туынды пайдаланыңыз

Қадам 2. Теңдеуді [f (x + dx) - f (x)]/dx теңдеуіне қосыңыз

Мысалы, егер теңдеу y = x болса², туынды

3 -қадам [dx (2x + dx)]/dx теңдеуін құру үшін dx кеңейтіңіз және алып тастаңыз

Енді сіз жоғарыда және төменде екі dx шығара аласыз. Нәтиже 2x + dx, ал dx нөлге жақындағанда туынды 2x болады. Бұл y = x графигінің кез келген жанамасының көлбеуі дегенді білдіреді² 2х болып табылады. Көлбеуді тапқыңыз келетін нүктеге x мәнін енгізіңіз.

Қадам 4. Ұқсас теңдеулерді шығарудың заңдылықтарын үйреніңіз

Мұнда бірнеше мысалдар келтірілген.

• Кез келген экспонент - бұл 1 -ден кіші дәрежеге көтерілген қуаттың уақыт мәні. Мысалы, х туындысы⁵ 5 есе болады⁴, және х туындысы^{3, 5} iis3, 5x^{2, 5}. Егер x алдында сан болса, оны қуатына көбейтіңіз. Мысалы, 3х туындысы⁴ 12 есе³.
• Кез келген тұрақты шаманың туындысы нөлге тең. Сонымен, 8 -дің туындысы - 0.
• Соманың туындысы - тиісті туындылардың қосындысы. Мысалы, х -тің туындысы³ + 3х² 3х болып табылады² + 6x.
• Өнімнің туындысы - бұл бірінші фактордың екінші фактордың туындысынан екінші коэффициентінің бірінші фактордың туындысынан екі есе көп болуы. Мысалы, х -тің туындысы³(2x + 1) - х³(2) + (2x + 1) 3x², бұл 8x -ке тең³ + 3х².
• Бөлімнің туындысы (айталық, f/g) [g (f туындысы) - f (туындысы g)]/г². Мысалы, (x² + 2x - 21)/(x - 3) - бұл (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

2 -ші әдіс 4: Жасырын туындылар

1 -қадам. Егер сіздің теңдеуіңіз бір жақта у -мен жазылмаса, жасырын туынды құралдарды қолданыңыз

Шындығында, егер сіз y -ды бір жаққа жазсаңыз, dy/dx есептеуі қиын болады. Бұл теңдеуді қалай шешуге болатынын көрсететін мысал.

Қадам 2. Бұл мысалда x²у + 2ж³ = 3x + 2y, y -ді f (x) -ке ауыстырыңыз, сонда сіз y -дің функция екенін есте сақтайсыз.

Содан кейін теңдеу х болады²f (x) + 2 [f (x)]³ = 3x + 2f (x).

3 -қадам. Бұл теңдеудің туындысын табу үшін х -ке қатысты теңдеудің екі жағын шығар

Содан кейін теңдеу х болады²f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]²f '(x) = 3 + 2f' (x).

4 -қадам. F (x) орнына y дегенді қайта қойыңыз

F (x) -тен өзгеше f '(x) алмастырудан сақ болыңыз.

Қадам 5. f '(x) табыңыз

Бұл мысалға жауап (3 - 2xy)/(x² + 6 ж² - 2).

3 -ші әдіс 4: Жоғары ретті туындылар

Қадам 1. Жоғары ретті функцияны алу туынды туынды дегенді білдіреді (2 тапсырысқа)

Мысалы, егер мәселе сізден үшінші ретті алуды сұраса, онда туынды туындысын алыңыз. Кейбір теңдеулер үшін жоғары ретті туынды 0 болады.

4 -ші әдіс 4: тізбек ережесі

1 -қадам. Егер у - z -тың дифференциалдық функциясы, ал z - х -тың дифференциалдық функциясы болса, у - х -тің құрама функциясы, ал у -ның х (dy/dx) қатысты туындысы (dy/du)* (du/dx)

Тізбек ережесі қуат теңдеулерінің комбинациясы болуы мүмкін, мысалы: (2x⁴ - x)³. Туынды табу үшін оны көбейту ережесі сияқты ойлаңыз. Теңдеуді дәрежеге көбейтіп, дәрежеге 1 -ге азайтыңыз. Содан кейін, теңдікті жақшаның ішіндегі қуатты арттыратын туындыға көбейтіңіз (бұл жағдайда 2x^4 - x). Бұл сұрақтың жауабы 3 (2x⁴ - x)²(8x³ - 1).

Кеңестер

• Сіз шешуге қиын мәселені көргенде, уайымдамаңыз. Көбейту, бөлу және т.б. ережелерін қолдана отырып, оны мүмкіндігінше кішкене бөліктерге бөлуге тырысыңыз. Содан кейін әр бөлікті төмендетіңіз.
• Көбейту ережесімен, квоталық ережемен, тізбек ережесімен және әсіресе жасырын туындылармен жаттығу жасаңыз, себебі бұл ережелер есептеулерде әлдеқайда қиын.
• Калькуляторды жақсы түсіну; оларды қалай пайдалану керектігін білу үшін калькулятордағы әр түрлі функцияларды қолданып көріңіз. Егер олар бар болса, калькуляторда тангенттер мен туынды функцияларды қалай қолдану керектігін білу өте пайдалы.
• Негізгі тригонометриялық туындыларды және оларды қалай қолдану керектігін есте сақтаңыз.