Көлемді есептеудің 6 әдісі

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-15 08:18

Объектінің көлемі объекті алатын үш өлшемді кеңістікті білдіреді. Сіз сондай -ақ көлем туралы ойлай аласыз, егер пішін толығымен толтырылған болса, пішінде қанша су (немесе ауа, құм немесе т.б.) болады. Көлем үшін әдетте бірлік текше сантиметр (см³), текше метр (м³), текше дюйм (дюйм³) және текше фут (фут³). Бұл мақалада текшелер, шарлар мен конустарды қосқанда, математика емтихандарында жиі кездесетін алты түрлі үш өлшемді пішіндердің көлемін есептеуді үйретеміз. Сіз бұл томдық формулалардың көпшілігінде ортақ нәрсені бөлісетінін байқайсыз, сондықтан оларды есте сақтау оңай. Мұны анықтай алатындығыңызды қараңыз!

Мәліметтер: бірыңғай формалардың көлемін есептеу

1. Қатты текше немесе шаршы үшін ұзындығын, енін және биіктігін өлшеңіз, содан кейін олардың барлығын көбейтіп, көлемді алыңыз. Суреттер мен мәліметтерді қараңыз.
2. Түтіктің биіктігін және оның радиусын өлшеңіз. Бұл радиусты r формуласын қолданып базалық аймақты табыңыз², содан кейін нәтижені түтіктің биіктігіне көбейтіңіз. Суреттер мен мәліметтерді қараңыз.
3. Стандартты пирамиданың көлемі x негізінің ауданы x биіктікке тең. Суреттер мен мәліметтерді қараңыз.
4. Конустың көлемін r формуласы бойынша есептеуге болады²h, мұндағы r - табанның радиусы, h - конустың биіктігі. Суреттер мен мәліметтерді қараңыз.

5. Шардың көлемін өлшеу үшін сізге оның радиусы r қажет. Бұл мәнді формулаға қосыңыз ⁴/₃r³. Суреттер мен мәліметтерді қараңыз.

   Қадам

   6 әдіс 1: текше көлемін есептеу

   

   Қадам 1. Кубтың пішінін білу

   Куб-алты өлшемді төртбұрышты қабырғалары бар үш өлшемді пішін. Басқаша айтқанда, текше - барлық жағынан бірдей өлшемдегі қорап.

   6 жақты мата-бұл сіздің үйіңізде табуға болатын текшенің мысалы. Қант блоктары мен балаларға арналған ойыншық әріп блоктары әдетте текше болып табылады

   

   2 -қадам. Текше көлемінің формуласын біліңіз

   Формула қарапайым V = s3, мұнда V көлемі мен s текшенің бүйір ұзындығын білдіреді.

   С табу үшін³, а мәнін 3 есе көбейтіңіз: с³ = s * s * s

   

   Қадам 3. Текшенің бір жағының ұзындығын өлшеңіз

   Сіздің тапсырмаңызға байланысты текшеде бұл ақпараттың жазуы болуы мүмкін немесе сызықтың көмегімен жақтардың ұзындығын өлшеу қажет болады. Есіңізде болсын, бұл текше болғандықтан, барлық бүйірлік ұзындықтар бірдей болады, сондықтан қай жағын өлшегеніңіз маңызды емес.

   Егер сізде пішін текше екеніне 100% сенімді болмасаңыз, оның өлшемі бірдей екенін білу үшін әр жағын өлшеңіз. Егер олар бірдей болмаса, блоктың көлемін есептеу үшін төмендегі әдісті қолдану қажет

   

   Қадам 4. Бүйірлік ұзындықтарды V = s формуласына қосыңыз³ және санау.

   Мысалы, егер текшенің қабырғаларының ұзындығы 5 дюйм болса, онда сіз формуланы былай жазасыз: V = (5 дюйм)³. 5 -те * 5 -те * 5 -те = 125 дюйм³, бұл біздің кубтың көлемі!

   

   5 -қадам. Нәтижені текше бірлікпен өрнектеңіз

   Жоғарыдағы мысалда біздің кубтың бүйірлік ұзындығы дюйммен өлшенеді, сондықтан көлем бірлігі текше дюймде. Егер бүйір ұзындығы 3 сантиметр болса, мысалы, көлемі V = (3 см)³немесе V = 27 см³.

   6 әдісі 2: Блок көлемін есептеу

   

   Қадам 1. Блоктың пішінін білу

   Тіктөртбұрышты призма деп аталатын блок-бұл алты жағы бар төртбұрышты үш өлшемді пішін. Басқаша айтқанда, блок-бұл үш өлшемді тікбұрышты пішін немесе қораптың пішіні.

   Текше - бұл барлық жағынан бірдей өлшемді арнайы блок

   

   Қадам 2. Кубоидтың көлемін есептеу формуласын біліңіз

   Кубоид көлемінің формуласы Көлемі = ұзындығы * ені * биіктігі немесе V = плт.

   

   3 -қадам. Блоктың ұзындығын табыңыз

   Бұл ұзындық - сәуле қойылған бетке параллель орналасқан сәуленің бүйір бөлігінің ең ұзын бөлігі. Бұл ұзындық диаграммада берілген болуы мүмкін немесе оны сызғышпен немесе таспа өлшемімен өлшеу қажет болуы мүмкін.

   • Мысал: Бұл блоктың ұзындығы 4 дюйм, сондықтан р = 4 дюйм.
   • Ұзындығы, ені мен биіктігі қай жағы туралы көп уайымдамаңыз. Егер сіз үш түрлі өлшемді қолдансаңыз, түпкілікті нәтиже сіз қалай тапсырыс бергеніңізге қарамастан бірдей болады.

   

   4 -қадам. Сәуленің енін табыңыз

   Пучка ені - бұл сәуленің орналасқан жеріне параллель қатты дененің қысқа жағын өлшеу. Тағы да, диаграммадан енін көрсететін белгіні іздеңіз немесе оны сызғышпен немесе таспамен өлшеңіз.

   • Мысал: Бұл блоктың ені 3 дюйм, сондықтан l = 3 дюйм.
   • Егер сіз блоктарды сызғышпен немесе рулеткамен өлшесеңіз, дәл сол бірліктерді қолданып орындаңыз. Бір жағын дюйммен, екіншісін сантиметрмен өлшемеңіз; барлық өлшемдер бірдей бірліктерді қолдануы керек!

   

   Қадам 5. Блоктың биіктігін табыңыз

   Бұл биіктік - арқалықтың бетінен сәуленің жоғарғы жағына дейінгі қашықтық. Диаграммадағы биіктік туралы ақпаратты қараңыз немесе сызғышпен немесе рулеткамен өзіңізді өлшеңіз.

   Мысал: Бұл блоктың биіктігі 6 дюйм, сондықтан t = 6 дюйм

   

   Қадам 6. Кубоидтық өлшемдерді көлемдік формулаға қосыңыз және оларды есептеңіз

   Есіңізде болсын, V = plt.

   Біздің мысалда p = 4, l = 3 және t = 6. Демек, V = 4 * 3 * 6 немесе 72

   

   Қадам 7. Нәтижені текше бірлікпен жазғаныңызға көз жеткізіңіз

   Біздің үлгі блогы дюйммен өлшенгендіктен, оның көлемі 72 текше дюйм немесе 72 дюйм деп жазылуы керек³.

   Егер біздің кубоид өлшемдері: ұзындығы = 2 см, ені = 4 см және биіктігі = 8 см болса, онда блоктың көлемі 2 см * 4 см * 8 см немесе 64 см болады.³.

   6 -ның 3 -әдісі: Түтіктің көлемін есептеу

   

   Қадам 1. Түтіктің пішінін анықтаңыз

   Түтік-дөңгелек пішінді екі бірдей жазық ұшы бар үш өлшемді пішін, ал олардың қосылатын қисық жағы.

   Құты - АА немесе ААА батареялары сияқты түтіктің мысалы

   

   Қадам 2. Цилиндр көлемінің формуласын есте сақтаңыз

   Цилиндрдің көлемін есептеу үшін негізгі шеңбердің биіктігі мен радиусын (шеңбердің ортасынан шетіне дейінгі қашықтықты) жоғарғы және төменгі жағынан білу қажет. Формула V = r²t, мұндағы V - көлем, r - негізгі шеңбердің радиусы, t - биіктік және pi -нің тұрақты мәні.

   • Геометрияның кейбір есептерінде жауап pi туралы болады, бірақ көп жағдайда біз pi -ді 3, 14 -ке дейін дөңгелете аламыз. Мұны нұсқаушымен растаңыз, ол қайсысын ұнататынын білу үшін.
   • Цилиндрдің көлемін табу формуласы текше көлемінің формуласына өте ұқсас: сіз форманың биіктігін табанның бетіне көбейтесіз. Кубоид формуласында бұл беттің ауданы p * l, ал цилиндр үшін r²яғни радиусы r болатын шеңбердің ауданы.

   

   3 -қадам. Негізгі радиусты табыңыз

   Егер диаграммада берілген болса, мәнді қолданыңыз. Егер диаметр радиустың орнына берілсе, радиустың мәнін білу үшін 2 -ге бөлу жеткілікті (d = 2r).

   

   Қадам 4. Егер радиус берілмесе, объектіні өлшеңіз

   Түтікті дәл өлшеу өте қиын болатынын біліңіз. Бір жолы - түтіктің төменгі жағын сызғышпен немесе өлшеуіш таспамен өлшеу. Цилиндрдің енін өлшеу үшін бар күшіңізді салып, радиусын табу үшін 2 -ге бөліңіз.

   • Түтіктің айналасын өлшеудің тағы бір нұсқасы (оның айналасындағы қашықтық) - сызғышпен ұзындығын белгілеп өлшеуге болатын таспа шарасын немесе жіпті пайдалану. Содан кейін бұл өлшеуді C (шеңбер) = 2πr формуласына қосыңыз. Шеңберді 2π (6.28) -ге бөліңіз, сонда сіз радиусты аласыз.
   • Мысалы, егер сіз өлшейтін шеңбер 8 дюйм болса, онда радиусы 1,27 дюйм.
   • Егер сізге дәл өлшеу қажет болса, сіз екі әдісті қолданып, сіздің өлшемдеріңіздің бірдей болуын қамтамасыз ете аласыз. Егер жоқ болса, екеуін де қайталап тексеріңіз. Айналдыру әдісі әдетте дәлірек нәтиже береді.

   

   5 -қадам. Негізгі шеңбердің ауданын есептеңіз

   Негізгі радиус мәнін r формуласына қосыңыз². Содан кейін радиусты бір рет көбейтіңіз, содан кейін нәтижені көбейтіңіз. Мысал ретінде:

   • Егер сіздің шеңбердің радиусы 4 дюйм болса, онда базалық ауданы A = 4².
   • 4² = 4 * 4, немесе 16. 16 * (3.14) = 50,24 дюйм²
   • Егер радиустың орнына табанның диаметрі берілсе, d = 2r екенін есте сақтаңыз. Радиусты табу үшін диаметрді екіге бөлу жеткілікті.

   

   Қадам 6. Түтіктің биіктігін табыңыз

   Бұл шеңбердің екі жартысы арасындағы қашықтық немесе түтік салынған беттен қашықтық. Диаграммада түтіктің биіктігін көрсететін жапсырманы іздеңіз немесе оны сызғышпен немесе рулеткамен өлшеңіз.

   

   Қадам 7. Көлемді табу үшін табанның ауданын цилиндрдің биіктігіне көбейтіңіз

   Немесе бір қадамды өткізіп жіберіп, түтік өлшемдерінің мәндерін V = r формуласына енгізуге болады²т. Біздің мысалда радиусы 4 дюйм және биіктігі 10 дюйм болатын түтік бар:

   • V = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • V = 502, 4

   

   Қадам 8. Жауапты текше бірлігінде айтуды ұмытпаңыз

   Біздің үлгі түтік дюйммен өлшенеді, сондықтан оның көлемі текше дюйммен көрсетілуі керек: V = 502,4 дюйм³. Егер біздің цилиндр сантиметрмен өлшенсе, онда оның көлемі текше сантиметрмен (см³).

   6 -ның 4 әдісі: Кәдімгі пирамиданың көлемін есептеу

   

   Қадам 1. Кәдімгі пирамиданың не екенін түсініңіз

   Пирамида-бұл үшбұрышты пішін, оның негізі көпбұрыш, ал бүйір жақтары оське қосылады (пирамиданың төбесі). Кәдімгі пирамида - бұл пирамида, оның негізі стандартты көпбұрыш, яғни көпбұрыштың барлық қабырғаларының ұзындығы тең, ал барлық бұрыштары бірдей.

   • Біз әдетте пирамиданы шаршы табаны бар деп ойлаймыз, оның жақтары нүктеге дейін жетеді, бірақ іс жүзінде пирамиданың табанының 5, 6, тіпті 100 жағы болуы мүмкін!
   • Дөңгелек табаны бар пирамида конус деп аталады, ол келесі әдісте талқыланады.

   

   Қадам 2. Кәдімгі пирамиданың көлемін есептеу формуласын үйреніңіз

   Бұл формула V = 1/3bt, мұндағы b - пирамида табанының ауданы (оның астындағы көпбұрыштың пішіні) және t - пирамиданың биіктігі немесе табаннан ұшына дейінгі тік қашықтық..

   Оң жақ пирамида көлемінің формуласы бірдей, онда төбесі табанның ортасынан жоғары, ал төбесі ортасында емес қиғаш пирамида үшін

   

   3 -қадам. Негізгі ауданды есептеңіз

   Мұның формуласы пирамиданың табанындағы қабырғалардың санына байланысты болады. Біздің диаграммадағы пирамидада негізі ұзындығы 6 дюйм болатын шаршы. Есіңізде болсын, шаршының ауданының формуласы A = s², мұнда s - бүйір ұзындығы. Сонымен, бұл пирамида үшін базаның ауданы (6 дюйм) ²немесе 36 дюйм².

   • Үшбұрыштың ауданының формуласы: A = 1/2 bt, мұндағы b - үшбұрыштың табаны, ал t - биіктік.
   • Сіз стандартты көпбұрыштың ауданын A = 1/2pa формуласы бойынша таба аласыз, мұнда А - аудан, p - пішіннің периметрі, және а - апотем, немесе пішіннің ортасынан ортаңғы нүктеге дейінгі қашықтық оның бір жағынан. Бұл неғұрлым күрделі есептеу, біз бұл мақалада қарастырмаймыз, бірақ сіз оны пайдалану туралы жақсы нұсқауларды білу үшін көпбұрыштың ауданын есептеу мақаласына кіре аласыз. Немесе сіз бұл процесті жеңілдетіп, Интернетте көпбұрышты калькуляторды іздей аласыз.

   

   Қадам 4. Пирамиданың биіктігін табыңыз

   Көп жағдайда бұл диаграммада көрсетіледі. Біздің мысалда пирамиданың биіктігі 10 дюйм.

   

   Қадам 5. Пирамиданың табанының ауданын биіктігіне көбейтіп, көлемін табу үшін 3 -ке бөл

   Есіңізде болсын, көлемнің формуласы V = 1/3bt. Біздің мысалда ауданы 36 және биіктігі 10 болатын пирамида көлемі: 36 * 10 * 1/3 немесе 120.

   Егер біз басқа пирамиданы қолдансақ, мысалы, ауданы 26 және биіктігі 8 пентаго тәрізді негізі болса, көлемі: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33

   

   Қадам 6. Жауапты текше бірлігінде айтуды ұмытпаңыз

   Біздің мысалдағы пирамиданың өлшемдері дюйммен өлшенеді, сондықтан көлемі текше дюйммен, 120. Егер біздің пирамида метрмен өлшенсе, көлем текше метрмен көрсетілуі керек (м³).

   6 -ның 5 әдісі: Конустың көлемін есептеу

   

   Қадам 1. Конустың пішінін біліңіз

   Конус-дөңгелек табаны мен төбесі бар 3 өлшемді пішін. Ойланудың тағы бір тәсілі - конусты дөңгелек табаны бар пирамида ретінде қарастыру.

   Егер конустың төбесі шеңбердің дәл ортасында болса, онда конус - «шын конус». Егер төбе дәл ортасында болмаса, онда конус «қиғаш конус» деп аталады. Бақытымызға орай, екеуінің де көлемін есептеу формуласы бірдей

   

   Қадам 2. Конус көлемін есептеу формуласын меңгеріңіз

   Формула V = 1/3πr²t, мұндағы r - конустың дөңгелек табанының радиусы, мұндағы t - биіктік және тұрақты пи, ол 3,14 дейін дөңгелектенеді.

   r бөлігі² формуладан дөңгелек конустың табанының ауданы жатады. Демек, конустың көлемінің формуласы алдыңғы әдістегі пирамиданың көлемінің формуласы сияқты 1/3bt құрайды!

   

   Қадам 3. Конустың дөңгелек негізінің ауданын есептеңіз

   Мұны істеу үшін сіз диаграммада жазылуы керек радиусты білуіңіз керек. Егер сізге тек қана диаметр берілсе, онда бұл мәнді 2 -ге бөліңіз, себебі диаметр радиустың 2 есе үлкен (d = 2r). Содан кейін радиус мәнін A = r формуласына енгізіңіз² ауданын есептеу үшін.

   • Диаграммадағы мысалда конус табанының радиусы 3 дюйм. Біз оны формулаға қосқанда, онда: A = 3².
   • 3² = 3 *3 немесе 0, сондықтан A = 9π.
   • A = 28, 27 дюйм²

   

   Қадам 4. Конустың биіктігін табыңыз

   Бұл конустың табаны мен оның шыңы арасындағы тік қашықтық. Біздің мысалда конустың биіктігі 5 дюйм.

   

   Қадам 5. Конустың биіктігін табанның ауданына көбейтіңіз

   Біздің мысалда бұл аймақ 28.27 дюйм² ал биіктігі 5 дюйм, сондықтан bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.

   

   Қадам 6. Енді конустың көлемін табу үшін нәтижені 1/3 көбейтіңіз (немесе 3 -ке бөлуге болады)

   Жоғарыдағы қадамда біз конустың қабырғалары бір нүктеге дейін тарылудың орнына басқа шеңберге созылғанда пайда болатын цилиндрдің көлемін есептедік. 3 -ке бөлу сізге конустың көлемін береді.

   • Біздің мысалда 141, 35 * 1/3 = 47, 12, бұл конустың көлемі.
   • Немесе 1/3π3²5 = 47, 12

   

   Қадам 7. Жауапты текше бірлігінде айтуды ұмытпаңыз

   Біздің конус дюйммен өлшенеді, сондықтан оның көлемі текше дюйммен көрсетілуі керек: 47,12 дюйм³.

   6 -ның 6 әдісі: Доптың көлемін есептеу

   

   1 -қадам. Пішінді табыңыз

   Сфера-бұл сфералық өлшемді объект, оның бетіндегі әрбір нүкте центрінен бірдей қашықтықта орналасқан. Басқаша айтқанда, мұнда сфералық нысандар кіреді.

   

   2 -қадам. Шар көлемінің формуласын біліңіз

   Бұл шардың көлемінің формуласы V = 4/3πr³ (оқыңыз: «үштен төрт бөлігі pi r-текше»), мұнда r-шардың радиусы, және түйреуіш тұрақтысы (3, 14).

   

   3 -қадам. Шардың радиусын табыңыз

   Егер радиус берілсе, онда r табу - жай ғана мәселе. Егер диаметр берілсе, радиус мәнін табу үшін оны 2 -ге бөлу керек. Мысалы, біздің диаграммада шардың радиусы 3 дюйм.

   

   Қадам 4. Егер радиусы белгісіз болса, допты өлшеңіз

   Егер радиусын табу үшін сфералық нысанды (мысалы, теннис допын) өлшеу қажет болса, алдымен затты орап алатындай үлкен жіпті алыңыз. Содан кейін, объектіні ең кең нүктеде айналдырыңыз және жіп қайтадан ұшына тиетін жерді белгілеңіз. Содан кейін, сызықты сызғышпен өлшеп, оның сыртқы шеңберін табыңыз. Бұл мәнді 2π немесе 6, 28 -ге бөліңіз, сонда сіз шардың радиусын аласыз.

   • Мысалы, егер сіз шарды өлшеп, 18 дюймдік шеңбер нүктесін тапсаңыз, 6.28 -ге бөліңіз, сонда сіз радиусы 2.87 дюймді аласыз.
   • Сфералық нысандарды өлшеу біршама қиын болуы мүмкін, сондықтан сіз ең дәл мәнді алу үшін 3 түрлі уақытты өлшеп, орташа мәнді алыңыз (барлық үш өлшемді қосып, 3 -ке бөліңіз).
   • Мысалы, егер сіздің сыртқы шеңбер өлшемдері 18 дюйм, 17.75 дюйм және 18.2 дюйм болса, олардың барлығын қосыңыз (18 + 17.5 + 18, 2 = 53.95) және нәтижені 3 -ке бөліңіз (53.95/3 = 17, 98). Бұл орташа мәнді көлемдік есептеулерде қолданыңыз.

   

   Қадам 5. r -ды табу радиусын кубикпен белгілеңіз³.

   Бұл оны санның өзіне 3 есе көбейту керек дегенді білдіреді, сондықтан r³ = r * r * r. Біздің мысалда r = 3, сондықтан r³ = 3 * 3 * 3 немесе 27.

   

   Қадам 6. Енді жауабыңызды 4/3 көбейтіңіз

   Сіз калькуляторды қолдана аласыз немесе оны қолмен есептеп, бөлшекті жеңілдете аласыз. Біздің мысалда 27 -ні 4/3 = 108/3 немесе 36 -ға көбейту.

   

   Қадам 7. Шардың көлемін табу үшін нәтижені көбейтіңіз

   Көлемді есептеудің соңғы кезеңі - нәтижені көбейту. Математикалық есептердің көпшілігі үшін екі санға дейін дөңгелектеу жеткілікті (егер сіздің мұғалім басқаша айтпаса), сондықтан 3, 14 -ке көбейтіңіз, сонда сіз жауапты табасыз.

   Біздің мысалда 36 * 3, 14 = 113, 09

   

   Қадам 8. Жауабыңызды текше бірлікпен білдіріңіз

   Біздің мысалда шардың радиусы дюйммен өлшенеді, сондықтан біздің нақты жауабымыз V = 113,09 текше дюйм (113,09 дюйм).³).