Квадрат түбірлерді қолмен қалай есептеу керек (суреттермен)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-15 08:18

Калькуляторлар пайда болғанға дейінгі күндері студенттер мен профессорлар квадрат түбірлерді қолмен есептеуге мәжбүр болды. Бұл қиын процесті жеңудің бірнеше әдістері жасалды. Кейбір тәсілдер шамамен баға береді, ал басқалары нақты мән береді. Қарапайым амалдарды қолдана отырып, санның квадрат түбірін қалай табуға болатынын білу үшін бастау үшін төмендегі 1 -қадамды қараңыз.

Қадам

2 әдісі 1: Prime Factorization қолдану

Қадам 1. Сіздің нөміріңізді мінсіз квадрат факторларға бөліңіз

Бұл әдіс санның квадрат түбірін табу үшін санның факторларын қолданады (санға байланысты жауап нақты сан немесе жақын жуықтау болуы мүмкін). Санның факторлары - бұл көбейткенде сол санды шығаратын басқа сандардың жиынтығы. Мысалы, 8 коэффициенттері 2 және 4 деп айтуға болады, себебі 2 × 4 = 8. Ал мінсіз квадраттар басқа бүтін сандардың туындысы болып табылатын бүтін сандар. Мысалы, 25, 36 және 49 - мінсіз квадраттар, себебі олар сәйкесінше 5², 6², және 7². Сіз болжаған боларсыз, мінсіз квадрат факторлары - бұл мінсіз квадраттар болып табылатын факторлар. Квадрат түбірді қарапайым факторизация арқылы табуды бастау үшін алдымен өз нөміріңізді мінсіз квадрат факторларына дейін жеңілдетуге тырысыңыз.

• Мысал келтірейік. Біз 400 -дің квадрат түбірін қолмен тапқымыз келеді. Бастау үшін біз санды оның мінсіз квадраттық факторларына бөлеміз. 400 100 -ге көбейтінді болғандықтан, біз 400 -дің 25 -ке бөлінетінін білеміз - мінсіз квадрат. Көлеңкелерді тез бөлу арқылы біз 400 -ді 25 -ке бөлгенде 16 -ға тең болатынын білеміз. Осылайша, 400 -дің мінсіз квадраттық факторлары 25 және 16 себебі 25 × 16 = 400.
• Біз оны келесідей жаза аламыз: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

Қадам 2. Сіздің мінсіз квадрат факторларыңыздың квадрат түбірін табыңыз

Квадрат түбірдің көбейту қасиеті кез келген a және b сандары үшін Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b) екенін көрсетеді. Осы қасиеттің арқасында біз енді мінсіз квадрат факторларымыздың квадрат түбірін тауып, оларды көбейте аламыз.

• Біздің мысалда 25 және 16 квадрат түбірлерін табамыз. Төменде қараңыз:

  • Түбір (25 × 16)
  • Түбір (25) × Түбір (16)

  • 5 × 4 =

    20 -қадам.

3 -қадам. Егер сіздің нөміріңізді нақты факторизациялау мүмкін болмаса, жауабыңызды оның қарапайым түріне жеңілдетіңіз

Нақты өмірде көбіне квадрат түбірін табу қажет сандар 400 сияқты айқын квадрат факторлары бар жағымды бүтін сандар емес. Бұл жағдайда біз дұрыс жауапты таба алмаймыз. Алайда, табуға болатындай көптеген керемет квадрат факторларды табу арқылы сіз жауапты кіші, қарапайым және есептеуге жеңіл квадрат түбір түрінде таба аласыз. Мұны істеу үшін, сіздің нөміріңізді мінсіз квадрат факторлар мен жетілмеген квадрат факторларының комбинациясына дейін азайтыңыз, содан кейін жеңілдетіңіз.

• Мысал ретінде 147 квадрат түбірін алайық. 147 екі мінсіз квадраттың туындысы емес, сондықтан жоғарыдағыдай бүтін санның нақты мәнін ала алмаймыз. Алайда, 147 - бұл бір мінсіз квадраттың және басқа санның туындысы - 49 және 3. Біз бұл ақпаратты өз жауабымызды келесідей қарапайым түрде жазу үшін пайдалана аламыз:

  • Тамыр (147)
  • = Түбір (49 × 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × түбір (3)

Қадам 4. Қажет болса, бағалаңыз

Квадрат түбірі қарапайым түрде болғанда, қалған квадрат түбірдің мәнін болжап, оны көбейту арқылы сандарға жауап берудің шамамен бағасын алу өте оңай. Болжауды табудың бір әдісі - квадрат түбірдегі саннан үлкен және кіші мінсіз квадраттарды іздеу. Сіз квадрат түбірдегі санның ондық мәні екі санның арасында екенін байқайсыз, сондықтан сіз екі санның арасындағы мәнді болжай аласыз.

• Біздің мысалға оралайық. себебі 2² = 4 және 1² = 1, біз Root (3) 1 мен 2 арасында екенін білеміз - мүмкін 1 -ге қарағанда 2 -ге жақын. Біз 1, 7 деп бағалаймыз. 7 × 1, 7 = 11, 9. Егер біз калькуляторда өз жауабымызды тексерсек, онда біздің жауап нақты жауапқа жақын екенін көреміз 12, 13.

  Бұл үлкен сандарға да қатысты. Мысалы, Root (35) 5 пен 6 арасында (6 -ға жақын болуы мүмкін) жуықтауға болады. 5² = 25 және 6² = 36. 35 - 25 пен 36 аралығында, сондықтан квадрат түбірі 5 пен 6 арасында болуы керек. 35 36 -дан бір ғана кіші болғандықтан, квадрат түбір 6 -дан сәл кіші деп сенімді түрде айта аламыз. бізге жауап беріңіз, шамамен 5, 92 - біз дұрыспыз.

5 -қадам. Немесе бірінші қадам ретінде сіздің нөміріңізді ең аз таралған факторларға дейін азайтыңыз

Егер санның жай факторларын оңай анықтай алсаңыз, мінсіз квадраттардың факторларын табу қажет емес (жай сандар факторлары). Сіздің нөміріңізді ең аз кездесетін факторлар бойынша жазыңыз. Содан кейін сіздің коэффициенттеріңізге сәйкес келетін жай сандар жұбын табыңыз. Бірдей екі негізгі факторды тапқанда, осы екі санды квадрат түбірден алып тастап, осы сандардың бірін квадрат түбірдің сыртына қойыңыз.

• Мысалы, осы әдісті қолданып 45 -тің түбірін табыңыз. Біз 45 × 5 екенін білеміз және 9 = 3 × 3 астында болатынын білеміз. Осылайша біз квадрат түбірімізді мына факторлар бойынша жаза аламыз: Sqrt (3 × 3 × 5). Квадрат түбірін қарапайым түрде жеңілдету үшін 3 -тің екеуін де алып тастап, 3 -ін квадрат түбірдің сыртына қойыңыз: (3) Түбір (5).

  Осы жерден бізді бағалау оңай болады.

• Мәселенің соңғы мысалы ретінде 88 квадрат түбірін табуға тырысайық:

  • Тамыр (88)
  • = Түбір (2 × 44)
  • = Түбір (2 × 4 × 11)
  • = Түбір (2 × 2 × 2 × 11). Біздің квадрат түбірімізде 2 шамасы бар. 2 жай сан болғандықтан, біз 2 -дің жұбын алып тастап, біреуін квадрат түбірдің сыртына шығара аламыз.

  • = Біздің квадрат түбіріміз қарапайым түрінде (2) Sqrt (2 × 11) немесе (2) Түбір (2) Түбір (11).

    Осыдан біз Sqrt (2) және Sqrt (11) бағалап, шамамен қалаған жауабын таба аламыз.

2 -ші әдіс 2: Квадрат түбірді қолмен табу

Ұзын бөлу алгоритмін қолдану

Қадам 1. Сіздің нөміріңіздің цифрларын жұптарға бөліңіз

Бұл әдіс цифр бойынша квадрат түбірдің нақты цифрын табу үшін ұзақ бөлуге ұқсас процесті қолданады. Егер бұл міндетті емес болса да, егер сіз жұмыс орныңызды және нөмірлеріңізді оңай өңделетін бөліктерге визуалды түрде реттесеңіз, сізге бұл процесті жүзеге асыру оңайырақ болуы мүмкін. Алдымен, жұмыс аймағыңызды екі бөлікке бөлетін тік сызық сызыңыз, содан кейін оң жақ бөлікті кіші үстіңгі және үлкен төменгі бөлікке бөлу үшін жоғарғы оң жаққа жақынырақ қысқа көлденең сызық сызыңыз. Содан кейін ондық бөлшектен бастап, сандарыңызды жұптарға бөліңіз. Мысалы, осы ережеге сәйкес 79,520,789,182, 47897 «7 95 20 78 91 82. 47 89 70» болады. Нөміріңізді сол жақ жоғарғы жағына жазыңыз.

Мысалы, 780, 14 квадрат түбірін есептеуге тырысайық. Жұмыс орныңызды жоғарыдағыдай бөлу үшін екі жолды сызыңыз және сол жақ жоғарғы жағына «7 80. 14» деп жазыңыз. Ең сол жақтағы сан жұп емес, жалғыз сан болғаны маңызды емес. Сіз өзіңіздің жауабыңызды (квадрат түбірі 780, 14) жоғарғы оң жаққа жазасыз

2 -қадам. Квадрат мәні сол жақтағы саннан (немесе сандар жұбынан) кіші немесе оған тең болатын ең үлкен бүтін санды табыңыз

Санның жұп сандарынан да, жеке нөмірлерден де сол жақ шетінен бастаңыз. Осы саннан кіші немесе оған тең болатын ең үлкен кемел шаршыны табыңыз, содан кейін осы мінсіз шаршының квадрат түбірін табыңыз. Бұл сан n. Жоғарғы оң жақта n жазыңыз және төменгі оң жақ квадрантта n квадраты жазыңыз.

Біздің мысалда, сол жақта - 7 саны. Себебі біз 2 екенін білеміз² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, біз n = 2 деп айта аламыз, себебі 2 - квадрат мәні 7 -ден кіші немесе оған тең болатын ең үлкен бүтін сан. Бұл біздің жауабымыздың бірінші цифры. Төменгі оң жақ квадрантқа 4 (квадрат мәні 2) деп жазыңыз. Бұл сан келесі қадам үшін маңызды.

Қадам 3. Жаңа сол жақтағы жұптан есептелген санды азайтыңыз

Ұзын бөлудегідей, келесі қадам - біз тапқан квадраттың мәнін біз талдаған бөліктен шығару. Бұл нөмірді бірінші бөліктің астына жазыңыз және астына жауабыңызды жазып, оны азайтыңыз.

• Біздің мысалда біз 7 -ден 4 -ке дейін жазамыз, содан кейін оны алып тастаймыз. Бұл азайту жауап береді

  3 -қадам..

Қадам 4. Келесі жұпты тастаңыз

Квадрат түбірін іздейтін санның келесі бөлігін төмен қарай жылжыту мәнінің қасына жылжытыңыз. Содан кейін, жоғарғы оң жақ квадранттағы санды екіге көбейтіп, жауапты төменгі оң жақ квадрантқа жазыңыз. Сіз жазған санның қасына келесі қадамда '«_ × _ =»' жазу арқылы көбейту мәселесіне бос орын қалдырыңыз.

Біздің мысалда біздің нөмірлердің келесі жұбы «80». Сол жақ квадрантта 3 -тің жанына «80» деп жазыңыз. Содан кейін жоғарғы оң жақтағы санды екіге көбейтіңіз. Бұл сан 2, сондықтан 2 × 2 = 4. Оң жақ төменгі квадрантқа «'4» деп жазыңыз, одан кейін _×_=.

Қадам 5. Оң жақ квадранттағы бос орындарды толтырыңыз

Сіз дұрыс квадрантта жазған барлық бос орындарды сол бүтін санмен толтыруыңыз керек. Бұл бүтін сан оң жақ квадранттағы өнімді сол жақтағы саннан аз немесе оған тең ететін ең үлкен бүтін сан болуы керек.

Біздің мысалда бос орындарды 8 -мен толтырамыз, нәтижесінде 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 болады. Бұл мән 384 -тен үлкен. Осылайша, 8 тым үлкен, бірақ 7 жұмыс істеуі мүмкін. Бос орындарға 7 деп жазыңыз және шешіңіз: 4 (7) × 7 = 329. 7 - дұрыс сан, себебі 329 380 -ден кіші. Жоғарғы оң жақ квадрантқа 7 деп жазыңыз. Бұл 780, 14 квадрат түбіріндегі екінші сан

Қадам 6. Жаңа ғана есептелген санды қазір сол жақтағы саннан алып тастаңыз

Ұзын бөлу әдісін қолданып, азайту тізбегін жалғастырыңыз. Төмендегі жауаптарды жаза отырып, мәселенің туындысын оң жақ квадрантқа алып, оны сол жақтағы саннан алып тастаңыз.

Біздің мысалда біз 380 -ден 329 -ды алып тастаймыз, бұл нәтиже береді 51.

7 -қадам. 4 -қадамды қайталаңыз

Квадрат түбірді іздейтін санның келесі бөлігін шығарыңыз. Нөмірдегі ондық нүктеге жеткенде, жауабыңызға ондық нүктені жоғарғы оң жақ квадрантқа жазыңыз. Содан кейін, жоғарғы оң жақтағы санды 2 -ге көбейтіңіз және оны жоғарыдағы бос көбейту мәселесінің («_ × _») жанына жазыңыз.

Біздің мысалда, біз қазір 780, 14 -те ондық бөлшекпен айналысатындықтан, ондық нүктені ағымдағы жауаптан кейін оң жақтың жоғарғы жағына жазыңыз. Содан кейін, сол жақ квадранттағы келесі жұпты (14) төмен түсіріңіз. Жоғарғы оң жақтағы (27) сан екі есе 54 -ке тең, сондықтан төменгі оң жақ квадрантқа «54 _ × _ =» деп жазыңыз

8 -қадам. 5 және 6 -қадамдарды қайталаңыз

Оң жақтағы бос орындарды толтыру үшін ең үлкен санды табыңыз, ол сол жақтағы саннан аз немесе оған тең жауап береді. Содан кейін, мәселені шешіңіз.

Біздің мысалда 549 × 9 = 4941, бұл сол жақтағы саннан аз немесе оған тең (5114). 549 × 10 = 5490 тым үлкен, сондықтан 9 сіздің жауабыңыз. Жоғарғы оң жақ квадранттағы келесі цифр ретінде 9 санын жазыңыз және сол жақтағы саннан көбейтуді алыңыз: 5114 минус 4941 173 -ке тең

9 -қадам. Цифрларды санауды жалғастыру үшін сол жақтағы нөлдерді төмендетіп, 4, 5 және 6 -қадамдарды қайталаңыз

Дәлірек болу үшін, бұл процесті жалғастырып, жауабыңызда жүздеген, мыңдаған және басқа жерлерді табыңыз. Қажетті ондық бөлшекті тапқанша осы циклды жалғастырыңыз.

Процесс туралы түсінік

Қадам 1. Квадрат түбірін квадраттың S ауданы ретінде есептеген санды елестетіп көріңіз

Квадраттың ауданы Р болғандықтан² мұнда P - қабырғалардың бірінің ұзындығы, содан кейін сіздің санның квадрат түбірін табуға тырысып, сіз шаршының сол жағының P ұзындығын есептеуге тырысасыз.

Қадам 2. Жауаптың әр цифры үшін әріптердің айнымалыларын анықтаңыз

А айнымалысын Р -ның бірінші цифры ретінде орнатыңыз (біз есептеуге тырысатын квадрат түбір). B - екінші цифр, С - үшінші цифр және т.б.

3 -қадам. Бастапқы нөмірдің әр бөлігі үшін әріптердің айнымалыларын анықтаңыз

S айнымалысын орнатыңыз_а S санының бірінші жұбы үшін (сіздің бастапқы мәніңіз), S_б цифрлардың екінші жұбы үшін және т.б.

Қадам 4. Бұл әдіс пен ұзақ бөлудің арасындағы байланысты түсіну

Квадрат түбірді табудың бұл әдісі - бұл сіздің бастапқы нөміріңізді квадрат түбірге бөлетін, сізге жауаптың квадрат түбірін беретін ұзақ бөлу мәселесі. Ұзақ бөлу мәселесіндегідей, сізді әр қадамдағы келесі сан ғана қызықтырады. Осылайша, сіз әр қадамдағы келесі екі цифрға ғана қызығасыз (бұл квадрат түбір үшін әр қадамдағы келесі цифр).

5 -қадам. Квадраттық мәні S -тен кіші немесе оған тең болатын ең үлкен санды табыңыз_а.

Біздің жауаптағы А -ның бірінші цифры - квадрат мәні S -ден аспайтын ең үлкен бүтін сан_а (яғни, A² A <Sa <(A+1) ² болатындай). Біздің мысалда С._а = 7, және 2² 7 <3², сондықтан A = 2.

Назар аударыңыз, мысалы, егер сіз 88962 -ді 7 -ге ұзақ бөлу арқылы бөлгіңіз келсе, онда бірінші қадамдар бірдей: сіз 88962 -дің бірінші цифрын көресіз (ол 8 -ге тең) және сіз ең үлкен цифрды іздейсіз ол 7 -ге көбейтілгенде 8 -ден кіші немесе тең болады Негізінде сіз d іздейсіз, осылайша 7 × d 8 <7 × (d+1). Бұл жағдайда d 1 -ге тең болады

Қадам 6. Ауданы бойынша жұмыс жасамақшы болған шаршының мәнін елестетіп көріңіз

Сіздің жауабыңыз, бастапқы санның квадрат түбірі - P, ол S ауданы бар шаршының ұзындығын сипаттайды (сіздің бастапқы нөміріңіз). Сіздің A, B, C бағаларыңыз P мәніндегі сандарды білдіреді. Бұны айтудың тағы бір әдісі-10А + В = Р (екі таңбалы жауап үшін), 100А + 10В + С = Р (үш сандық жауап) және т.

Біздің мысалда, (10А+В) ² = Р² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Есіңізде болсын, 10А+В - біздің жауабымызды білдіретін P, В бір позицияда және А ондықта. Мысалы, A = 1 және B = 2 болса, онда 10A+B 12 -ге тең. (10А+В) ² - бұл шаршының жалпы ауданы 100A² бұл ең үлкен алаңның ауданы, B² - ондағы ең кіші шаршының ауданы және 10А × В - қалған екі тіктөртбұрыштың ауданы. Бұл ұзақ және күрделі процесті жасай отырып, квадраттар мен тіктөртбұрыштардың аудандарын қосу арқылы шаршының жалпы ауданын табамыз.

7 -қадам. S -ден A² шегеріңіз_а.

Бір жұп цифрды азайтыңыз (С._б) S. мәні S_а С._б үлкен ішкі шаршыны алып тастау үшін пайдаланған шаршының жалпы ауданына жақын. Қалғанын N1 саны деп санауға болады, біз оны 4 -қадамда алдық (N1 = 380 біздің мысалда). N1 2 және есе тең: 10A × B + B² (екі тіктөртбұрыштың ауданы және кіші шаршының ауданы).

Қадам 8. N1 = 2 × 10A × B + B² табыңыз, ол N1 = (2 × 10A + B) × B түрінде де жазылады

Біздің мысалда сіз N1 (380) және A (2) білесіз, сондықтан сіз В В -ны табуыңыз керек, бәлкім, бүтін сан емес, сондықтан сізге В (2 × 10А +) сияқты ең үлкен бүтін санды табу қажет. B) × B N1. Сізде: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

Қадам 9. Аяқтаңыз

Бұл теңдеуді шешу үшін А -ны 2 -ге көбейтіңіз, нәтижені ондыққа (10 -ға көбейтудің эквиваленті) жылжытыңыз, В -ны бір позицияға қойыңыз және санды В -ға көбейтіңіз. Басқаша айтқанда, шешіңіз (2 × 10А + B) × B. 4 -қадамда төменгі оң жақ квадрантқа «N_ × _ =» (N = 2 × A) жазғанда дәл осылай жасайсыз. 5 -қадамда сіз сәйкес келетін ең үлкен бүтін В санын табасыз. оның астындағы сан (2 × 10А + В) × В N1 болатындай.

Қадам 10. Жалпы ауданнан (2 × 10А + В) × В ауданын алып тастаңыз

Бұл азайту нәтижесінде S- (10A+B) ² аумағы шығады (және ол келесі цифрды дәл осылай есептеу үшін қолданылады).

Қадам 11. Келесі Ц, цифрын есептеу үшін, процесті қайталаңыз

Келесі жұпты төмендетіңіз (С._c)) N-ді солға N2 алу үшін және ең үлкен С-ты табу үшін (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (екі таңбалы «АВ» санынан екі есе көп жазуға барабар) «_ × _ =». Бос орындардағы ең үлкен сәйкес келетін санды табыңыз, ол бұрынғыдай N2 -ден кіші немесе оған тең жауап береді.

Кеңестер

• Ондық нүктені екі цифрдың санына (100 -ге еселік) жылжыту, ондық нүктені бір цифрдың квадрат түбірінде (10 -ға еселік) жылжыту дегенді білдіреді.
• Бұл мысалда 1.73 «қалдық» деп санауға болады: 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
• Бұл әдісті кез келген база үшін қолдануға болады, тек 10 базалық емес (ондық).
• Сіз өзіңізге ыңғайлы есептеулерді пайдалана аласыз. Кейбір адамдар нәтижені бастапқы санның үстіне жазады.
• Қайталанатын бөлшектерді қолданудың балама әдісі мына формуланы ұстану болып табылады: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Мысалы, 780, 14 квадрат түбірін есептеу үшін квадраттық мәні 780, 14-ке жақын бүтін сан 28-ге тең, сондықтан z = 780, 14, x = 28 және y = -3, 86. Мәндерді енгізу және тек x + y/(2x) үшін есептеулерді есептеу (қарапайым тілмен айтқанда) 78207/20800 немесе шамамен 27, 931 (1); келесі термин, 4374188/156607 немесе шамамен 27, 930986 (5). Әрбір термин ондық бөлшектердің алдыңғы санының дәлдігіне шамамен 3 ондық бөлшекті қосады.

Ескерту

Ондық бөлшектен бастап цифрларды жұпқа бөлуді ұмытпаңыз. 79,520,789,182, 47897 санына бөлінеді «79 52 07 89 18 2, 4 78 97 «пайдасыз нөмірді қайтарады.