Пифагор теоремасы тікбұрышты үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтарын талғампаз және практикалық түрде сипаттайды, сондықтан бұл теорема бүгінгі күнге дейін кеңінен қолданылады. Бұл теорема кез келген тікбұрышты үшбұрыш үшін бұрыштары жоқ қабырғалардың квадраттарының қосындысы гипотенузаның квадратына тең екенін айтады. Басқаша айтқанда, a және b перпендикуляр қабырғалары мен с гипотенузасы бар тік бұрышты үшбұрыш үшін, а2 + б2 = c2.
Пифагор теоремасы - элементар геометрияның негізгі тіректерінің бірі. Бұл теореманы қолданатын сансыз қосымшалар бар, мысалы, координаталық жазықтықтағы екі нүкте арасындағы қашықтықты табуды жеңілдету үшін.
Қадам
2 -ші әдіс: Оң жақ үшбұрыштың жақтарын табу
Қадам 1. Сіздің үшбұрыштың тікбұрышты екеніне көз жеткізіңіз
Пифагор теоремасы тек тікбұрышты үшбұрыштарға ғана қатысты, сондықтан жалғастырмас бұрын сіздің үшбұрыштарыңыз тікбұрышты үшбұрыштардың қасиеттеріне сәйкес келетініне көз жеткізу өте маңызды. Бақытымызға орай, сіздің үшбұрышыңыз тікбұрышты үшбұрыш екенін көрсететін бір фактор бар. Сіздің үшбұрыштың бір бұрышы 90 градус болуы керек.
Белгі ретінде тікбұрышты үшбұрыштар қисық «қисықтарды» пайдаланбай, 90 градус бұрыштарды белгілеу үшін жиі кішкене квадраттармен белгіленеді. Үшбұрыштың бұрышынан осы белгіні іздеңіз
Қадам 2. Үшбұрыштың қабырғалары үшін a, b және c айнымалысын беріңіз
Пифагор теоремасында a және b айнымалылары тікбұрышты үшбұрышта кездесетін жақтарды білдіреді, ал с айнымалысы гипотенузаны - тік бұрышқа қарама -қарсы орналасқан ұзын жағын білдіреді. Алдымен үшбұрыштың қысқа жақтарын a және b айнымалыларымен белгілеңіз (оларды алмастырсаңыз да маңызды емес) және гипотенузаны c айнымалысымен белгілеңіз.
Қадам 3. Үшбұрыштың қай жағын шешкіңіз келетінін шешіңіз
Пифагор теоремасы математиктерге үшбұрыштың кез келген қабырғасының ұзындығын білуге мүмкіндік береді. Қай жағы белгісіз екенін анықтаңыз - a, b және/немесе c. Егер сіздің бір жағыңыздың ұзындығы белгісіз болса, сіз әрі қарай жүруге дайынсыз.
- Мысалы, біз үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығы 5, ал басқа қабырғаларының бірінің ұзындығы 3 екенін білеміз, бірақ үшінші қабырғасының ұзындығына сенімді емеспіз. Бұл жағдайда біз үшінші жақтың ұзындығын іздейтінімізді білеміз, ал қалған екеуінің ұзындығын білетіндіктен, біз оны шеше аламыз! Біз бұл мәселені келесі қадамдармен шешетін боламыз.
- Егер сіз екі жақтың ұзындығын білмесеңіз, Пифагор теоремасын қолдана білу үшін оның бір жағын білуіңіз керек. Егер үшбұрыштың көлбеу емес бір жағын білсеңіз, негізгі тригонометриялық функциялар сізге көмектеседі.
Қадам 4. Өзіңіз білетін екі жақты мәндерді теңдеуге қосыңыз
Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын a теңдеуіне қосыңыз2 + б2 = c2. Есіңізде болсын, а мен b-көлбеу емес қабырғалар, ал с-гипотенуза.
Біздің мысалда біз бір жақ пен гипотенузаның ұзындығын білеміз (3 & 5), сондықтан теңдеу шығады 3² + b² = 5²
5 -қадам. Шаршы
Теңдеуді шешу үшін белгілі жақтарын квадраттаудан бастаңыз. Сонымен қатар, егер сіз мұны оңайырақ тапсаңыз, бүйірлік ұзындықты квадратқа қалдырып, кейін оларды квадраттауға болады.
-
Біздің мысалда біз 3 және 5 квадратқа ие боламыз
9 -қадам. да
25 -қадам.. Теңдеуді 9 + b² = 25 түрінде жаза аламыз.
Қадам 6. Белгісіз айнымалыны теңдеудің екінші жағына жылжытыңыз
Қажет болса, белгісіз айнымалы теңдеудің екінші жағына, ал қалған екі айнымалының квадраты екінші жағына ауысуы үшін негізгі алгебралық амалдарды қолданыңыз. Егер сіз гипотенузаның ұзындығын тапқыңыз келсе, c теңдеудің екінші жағында, сондықтан оны жылжыту үшін ештеңе істеудің қажеті жоқ.
Біздің мысалда ағымдағы теңдеу 9 + b² = 25. b² жылжыту үшін теңдеудің екі жағын 9 -ға азайтыңыз, сондықтан нәтиже b² = 16 болады
Қадам 7. Теңдеудің екі жағының квадрат түбірі
Енді бір жағында тек бір айнымалы квадрат, ал екінші жағында сан. Белгісіз жақтың ұзындығын табу үшін екі жақтың квадрат түбірі.
-
Біздің мысалда b² = 16, екі қабырғасының квадрат түбірін алу b = 4 береді. Осылайша үшбұрыштың белгісіз қабырғасының ұзындығы деп айтуға болады.
4 -қадам..
Қадам 8. Нағыз тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларын табу үшін Пифагор теоремасын қолданыңыз
Пифагор теоремасының қазіргі кезде кеңінен қолданылуының себебі - оны сансыз практикалық жағдайларға қолдануға болады. Нақты өмірде тікбұрышты үшбұрыштарды білуді үйреніңіз - кез келген жағдайда екі объект немесе түзу тік бұрышқа сәйкес келеді, ал үшінші объект немесе сызық екі объектіге немесе түзуге диагональ бойынша қосылады, онда сіз Пифагор теоремасын қолданып, қабырғаның ұзындығын таба аласыз. екіншісі, егер басқа екі жақтың ұзындығы белгілі болса.
-
Біршама қиын болатын нақты мысалды көрейік. Баспалдақ ғимаратқа сүйенеді. Баспалдақтың түбінен қабырғаға дейінгі қашықтық 5 метр. Баспалдақтардың биіктігі 20 метрге жетеді. Баспалдақ қанша уақыт?
-
Қабырғадан 5 метр және биіктігі 20 метр үшбұрыш қабырғаларының ұзындығын айтады. Қабырға мен жер (қабылданған) тік бұрыш құрайтындықтан және баспалдақ қабырғаға қиғаш тірелгендіктен, бұл орналасуды бүйір ұзындығы a = 5 және b = 20 болатын тікбұрышты үшбұрыш деп санауға болады., сондықтан c мәні белгісіз. Пифагор теоремасын қолданайық:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- түбір (425) = c
- с = 20.6. Баспалдақтың шамамен ұзындығы 20,6 метр.
-
2-ші әдіс 2: X-Y жазықтығында екі нүкте арасындағы қашықтықты есептеу
Қадам 1. X-Y жазықтығындағы екі нүктені табыңыз
Пифагор теоремасын X-Y жазықтығының екі нүктесі арасындағы түзу қашықтықты есептеу үшін оңай қолдануға болады. Сізге тек екі нүктенің x және y координаттары туралы білу қажет. Әдетте, бұл координаттар бірге (x, y) түрінде жазылады.
Осы екі нүктенің арасындағы қашықтықты табу үшін әр нүктені тікбұрышты үшбұрыштың тік емес бұрыштарының бірі ретінде қарастырамыз. Бұл a және b жақтарының ұзындықтарын табуды жеңілдетеді, сосын гипотенузаны есептейді, бұл екі нүкте арасындағы қашықтық
Қадам 2. Суреттегі екі нүктені салыңыз
Кәдімгі X-Y жазықтығында әрбір (x, y), x нүктесі көлденең координатаны, ал y тік координатаны білдіреді. Сіз екі нүктенің арасындағы қашықтықты сызбай -ақ таба аласыз, бірақ бұл сіздің жауабыңыздың дұрыстығын көру үшін қолдануға болатын визуалды бейнені береді.
3-қадам. Үшбұрыштың көлбеу қабырғасының ұзындығын табыңыз
Үш нүктенің гипотенузаға іргелес бұрыштары ретінде екі нүктені қолданып, үшбұрыштың а және b қабырғаларының ұзындықтарын табыңыз. Мұны суретті немесе | x формуласын қолданып жасауға болады1 - x2| көлденең жағы үшін және | y1 - ж2| тік жағы үшін, (x1, ж1) бірінші нүкте ретінде және (x2, ж2) екінші нүкте ретінде.
-
Біздің екі нүктеміз (6, 1) және (3, 5) болсын. Біздің үшбұрыштың көлденең қабырғасының ұзындығы:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
3 -қадам.
-
Тік жағының ұзындығы:
- | ж1 - ж2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
4 -қадам.
- Сонымен, біздің үшбұрышта а = 3 жағы және b = 4 қабырғасы.
Қадам 4. Гипотенузаның ұзындығын табу үшін Пифагор теоремасын қолданыңыз
Екі нүктенің арақашықтығы - екі жағы сіз тапқан үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығы. Гипотенузаны табу үшін Пифагор теоремасын қолданыңыз, мұнда a - бірінші жақтың ұзындығы, b - екінші жақтың ұзындығы.
-
Біздің мысалда біз бүйір ұзындығы 3 және 4 болатын (3, 5) және (6, 1) нүктелерін қолданамыз, сондықтан гипотенузаны келесідей табамыз:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = түбір (9+16)
- c = түбір (25)
-
c = 5. (3, 5) пен (6, 1) арасындағы қашықтық
5 -қадам..
-
Кеңестер
-
Гипотенуза әрқашан:
- тік бұрышқа қарама -қарсы (тік бұрышқа тимей)
- тікбұрышты үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы
- Пифагор теоремасында с деп аталады
- (x) түбірі х -тің квадрат түбірін білдіреді.
- Жауаптарыңызды үнемі тексеруді ұмытпаңыз. Егер сіздің жауабыңыз қате болып көрінсе, қайталап көріңіз.
- Егер үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш болмаса, сізге басқа екі жақтың ұзындығы ғана емес, қосымша ақпарат қажет.
- Тексерудің тағы бір әдісі - ең ұзын жағы үлкен бұрышқа, ал ең қысқа жағы ең кіші бұрышқа қарама -қарсы.
- Суреттер a, b және c үшін дұрыс мәндерді жазудың кілті болып табылады. Егер сіз әңгіме мәселесімен жұмыс жасасаңыз, алдымен мәселені сурет түрінде жазуды ұмытпаңыз.
- Егер сіз тек бір жақтың ұзындығын білсеңіз, Пифагор теоремасы жұмыс істемейді. Тригонометрияны (sin, cos, tan) немесе 30-60-90 / 45-45-90 қатынастарын қолданып көріңіз.
