Матрицаның детерминанты көбінесе есепте, сызықтық алгебра мен геометрияда жоғары деңгейде қолданылады. Оқу ортасынан басқа, компьютерлік графика инженерлері мен бағдарламашылары матрицалар мен олардың детерминанттарын үнемі қолданады. Егер сіз 2х2 реттік матрицаның детерминантын қалай анықтау керектігін білсеңіз, 3x3 ретті матрицаның детерминантын анықтау үшін қосу, азайту және уақытты қолдану керек.
Қадам
2 бөлімнің 1 бөлігі: Анықтауыштарды анықтау
3х3 ретті матрицаны жазыңыз. Біз 3x3 ретті А матрицасынан бастаймыз және анықтаушыны | А | табуға тырысамыз. Төменде біз қолданатын матрицалық белгілердің жалпы формасы және біздің матрицаның мысалы келтірілген:
| а11 | а12 | а13 | 1 | 5 | 3 | |||
| М. | = | а21 | а22 | а23 | = | 2 | 4 | 7 |
| а31 | а32 | а33 | 4 | 6 | 2 |
Қадам 1. Жолды немесе бағанды таңдаңыз
Анықтамалық жолды немесе бағанды таңдаңыз. Сіз қайсысын таңдасаңыз да, сіз әлі де сол жауапты аласыз. Уақытша бірінші жолды таңдаңыз. Біз сізге келесі бөлімде есептеуге оңай опцияны таңдау бойынша бірнеше ұсыныстар береміз.
Үлгі матрицаның бірінші жолын таңдаңыз. А цифрын 1 5 3. Ортақ белгілеуде а11 а12 а13.
Қадам 2. Бірінші элементтің жолын және бағанын сызып тастаңыз
Сіз айналдырған жолға немесе бағанға қараңыз және бірінші элементті таңдаңыз. Жолдар мен бағандарды сызыңыз. Тек 4 нөмір қалады. Осы 4 санды 2х2 ретті матрицаға айналдырыңыз.
- Біздің мысалда сілтеме жолымыз 1 5 3. Бірінші элемент 1 -ші жолда және 1 -бағанда. 1 -ші жол мен 1 -бағанды толығымен сызып тастаңыз. Қалған элементтерді 2 x 2 матрицасына жазыңыз:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
3 -қадам. 2 x 2 ретті матрицаның анықтауышын анықтаңыз
Есіңізде болсын, матрицаның анықтауышын анықтаңыз [аc) бd] арқылы жарнама - б.з.д. Матрицаның детерминантын 2 х 2 матрицаның арасына X сызу арқылы анықтауды да үйренген боларсыз. / Санының / сызығымен қосылған екі санды көбейтіңіз. Содан кейін сызықпен қосылған екі санның санын азайтыңыз. бар. 2 x 2 матрицаның детерминантын есептеу үшін осы формуланы қолданыңыз.
- Мысалда матрицаның анықтаушысы [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Бұл детерминант деп аталады кәмелетке толмаған бастапқы матрицада таңдаған элементтердің саны. Бұл жағдайда біз а -ның кәмелетке толмағанын таптық11.
Қадам 4. Сіз таңдаған элемент арқылы табылған санды көбейтіңіз
Есіңізде болсын, сіз қай жолдар мен бағандарды шығару керектігін шешкен кезде сілтеме жолынан (немесе бағаннан) элементтерді таңдадыңыз. Бұл элементті сіз тапқан 2 х 2 матрицаның детерминантымен көбейтіңіз.
Мысалда біз a таңдаймыз11 бұл 1. Бұл санды -34 -ке көбейтіңіз (2 x 2 матрицасының детерминанты) 1*-34 = - 34.
Қадам 5. Жауаптың символын анықтаңыз
Келесі қадам -жауап алу үшін 1 немесе -1 -ге көбейту керек кофактор сіз таңдаған элементтің. Сіз қолданатын символ 3 x 3 матрицасындағы элементтердің орналасуына байланысты. Есіңізде болсын, бұл символдар кестесі сіздің элементтің мультипликаторын анықтау үшін қолданылады:
- + - +
- - + -
- + - +
- Себебі біз a таңдаймыз11 +деп белгіленген, біз санды +1 -ге көбейтеміз (немесе басқаша айтқанда, оны өзгертпеңіз). Пайда болған жауап бірдей болады, атап айтқанда - 34.
- Символды анықтаудың тағы бір әдісі-формуланы қолдану (-1) i+j - мұнда i және j - жол мен баған элементтері.
Қадам 6. Бұл процесті сілтеме жолындағы немесе бағандағы екінші элемент үшін қайталаңыз
Жолды немесе бағанды бұрын айналдырған бастапқы 3х3 матрицасына оралыңыз. Элементтермен бірдей процесті қайталаңыз:
-
Элементтің жолын және бағанын сызып тастаңыз.
Бұл жағдайда а элементін таңдаңыз12 (бағасы 5). 1 -ші жолды (1 5 3) және 2 -бағанды (5 4 6) сызып тастаңыз.
-
Қалған элементтерді 2х2 матрицаға айналдырыңыз.
Біздің мысалда екінші элемент үшін 2х2 ретті матрицасы [24 72].
-
Осы 2х2 матрицаның детерминантын анықтаңыз.
Ad - bc формуласын қолданыңыз. (2*2 - 7*4 = -24)
-
3x3 матрицасының элементтеріне көбейтіңіз.
-24 * 5 = -120
-
Жоғарыдағы нәтижені -1 -ге көбейту керек пе, жоқ па, соны шешіңіз.
Символдар немесе формулалар кестесін қолданыңыз (-1)ij. A элементін таңдаңыз12 символдық - символдар кестесінде. Жауап символымызды келесіге ауыстырыңыз: (-1)*(-120) = 120.
Қадам 7. Үшінші элемент үшін сол процесті қайталаңыз
Детерминантты анықтау үшін сізде тағы бір фактор бар. Анықтамалық жолдағы немесе бағандағы үшінші элемент үшін i санын есептеңіз. Міне, a коэффициентін есептеудің жылдам әдісі13 біздің мысалда:
- Алу үшін 1 -жол мен 3 -бағанды сызып тастаңыз [24 46].
- Анықтаушы 2*6 - 4*4 = -4.
- А элементіне көбейту13: -4 * 3 = -12.
- A элементі13 символдар кестесінде символ +, сондықтан жауап - 12.
Қадам 8. Үш есептің нәтижесін қосыңыз
Бұл соңғы қадам. Сіз үш кофакторды есептедіңіз, олар жолдағы немесе бағандағы әрбір элемент үшін бір. Бұл нәтижелерді қосыңыз, сіз 3х3 матрицаның детерминантын табасыз.
Мысалда матрицаның детерминанты болып табылады - 34 + 120 + - 12 = 74.
2 -ден 2 -ші бөлім: Мәселені шешуді жеңілдету
Қадам 1. Ең көп 0 саны бар сілтемелер жолын немесе бағанын таңдаңыз
Есіңізде болсын, сіз кез келген жолды немесе бағанды таңдай аласыз. Сіз қайсысын таңдасаңыз да, жауап бірдей болады. Егер сіз 0 саны бар жолды немесе бағанды таңдайтын болсаңыз, онда коэффициентті 0 емес элементтермен есептеу қажет, себебі:
- Мысалы, а элементі бар 2 -ші жолды таңдаңыз21, а22, қор23. Бұл мәселені шешу үшін біз 3 түрлі 2 х 2 матрицаны қолданамыз, айталық А.21, А.22, Сіз23.
- 3x3 матрицасының детерминанты а21| А.21| - а22| А.22| + а23| А.23|.
- Егер а22 қор23 мәні 0, бар формула a болады21| А.21| - 0*| А.22| + 0*| А.23| = а21| А.21| - 0 + 0 = а21| А.21|. Сондықтан біз тек бір элементтің коэффициентін есептейміз.
Қадам 2. Матрицалық есептерді жеңілдету үшін қосымша жолдарды пайдаланыңыз
Егер сіз мәндерді бір жолдан алып, басқа жолға қоссаңыз, матрицаның детерминанты өзгермейді. Бұл бағандарға да қатысты. Матрицада мүмкіндігінше көп 0 алу үшін оны қоспас бұрын мұны қайталауға немесе тұрақтыға көбейтуге болады. Бұл көп уақытты үнемдеуге мүмкіндік береді.
- Мысалы, сізде 3 жолдан тұратын матрица бар: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- A позициясында тұрған 9 санын жою үшін11, сіз 2 -жолдағы мәнді -3 -ке көбейтіп, нәтижені бірінші жолға қоса аласыз. Енді жаңа бірінші жол [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Жаңа матрицада [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2] жолдары бар. Бағаналар үшін бірдей трюкті қолданыңыз12 0 саны болсын.
Қадам 3. Үшбұрышты матрицаның жылдам әдісін қолданыңыз
Бұл ерекше жағдайда анықтауыш негізгі диагональдағы элементтердің көбейтіндісі болып табылады11 сол жақ жоғарғы жағында33 матрицаның төменгі оң жағында. Бұл матрица әлі де 3x3 матрицасы, бірақ «үшбұрыш» матрицасы 0 емес арнайы сандар үлгісіне ие:
- Жоғарғы үшбұрышты матрица: 0 емес барлық элементтер негізгі диагональда немесе одан жоғары. Негізгі диагональдан төмендегі барлық сандар - 0.
- Төменгі үшбұрышты матрица: 0 емес барлық элементтер негізгі диагональда немесе төмен орналасқан.
- Диагональды матрица: 0 емес барлық элементтер негізгі диагональда орналасқан (жоғарыда келтірілген матрицалар түрлерінің жиынтығы).
Кеңестер
- Егер жолдағы немесе бағандағы барлық элементтер 0 болса, матрицаның анықтаушысы 0 болады.
- Бұл әдісті квадрат матрицалардың барлық өлшемдері үшін қолдануға болады. Мысалы, егер сіз бұл әдісті 4х4 ретті матрица үшін қолдансаңыз, сіздің «соққыңыз» 3x3 ретті матрицаны қалдырады, оның детерминаторын жоғарыдағы қадамдарды орындау арқылы анықтауға болады. Есіңізде болсын, мұны істеу скучно болуы мүмкін!
