Математикалық теңдеулерді қалай жеңілдетуге болады: 13 қадам

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-15 08:18

Математика пәні бойынша оқушыларға жауаптарын қарапайым түрде жазуды сұрайды - басқаша айтқанда, жауаптарды мүмкіндігінше талғампаз етіп жазу. Ұзын, қатал және қысқа, сондай -ақ талғампаз теңдеулер техникалық жағынан бірдей болғанымен, егер соңғы жауап қарапайым түріне дейін қысқартылмаса, математикалық есеп толық деп саналмайды. Сонымен қатар, оның қарапайым түрінде жауап әрқашан онымен жұмыс істеудің ең оңай теңдеуі болып табылады. Осы себепті теңдеулерді жеңілдетуді үйрену математиктер үшін маңызды дағды болып табылады.

Қадам

2 -ші әдіс 1: Операция ретін қолдану

Қадам 1. Амалдардың орындалу ретін білу

Математикалық өрнектерді жеңілдету кезінде солдан оңға қарай, солдан оңға қарай көбейту, қосу, азайту және т.б. Кейбір математикалық амалдар басқалардан басым болуы керек және алдымен орындалуы керек. Шындығында, операциялардың қате тәртібін қолдану қате жауап беруі мүмкін. Амалдардың орындалу реті: жақшадағы бөлік, дәреже, көбейту, бөлу, қосу және ақырында азайту. Есте сақтау үшін қолдануға болатын қысқартылған сөз - бұл ана жақсы емес, зұлым және кедей.

Назар аударыңыз, амалдардың орындалу реті туралы негізгі білім қарапайым теңдеулерді жеңілдете алатын болса да, көптеген айнымалы теңдеулерді, соның ішінде барлық дерлік көпмүшелерді жеңілдету үшін арнайы әдістер қажет. Қосымша ақпарат алу үшін келесі екінші әдісті қараңыз

Қадам 2. Жақшадағы барлық бөлімдерді толтырудан бастаңыз

Математикада жақшалар ішкі бөлікті жақшаның сыртындағы өрнектен бөлек есептеу керектігін көрсетеді. Жақшаның ішінде қандай амалдар болмасын, теңдеуді жеңілдетуге тырысқанда жақшаның ішіндегі бөлікті міндетті түрде толтырыңыз. Мысалы, жақшаға қосу, азайту және т.б. алдында көбейту керек.

• Мысалы, 2x + 4 (5 + 2) + 3 теңдеуін жеңілдетуге тырысайық² - (3 + 4/2). Бұл теңдеуде алдымен жақша ішіндегі бөлікті шешуіміз керек, атап айтқанда 5 + 2 және 3 + 4/2. 5 + 2 =

  7 -қадам.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  5 -қадам

  Екінші жақшаның бөлігі 5 -ке дейін оңайлатылған, себебі операциялардың реті бойынша біз жақшаның ішінде 4/2 бөлеміз. Егер біз тек солдан оңға қарай жұмыс жасайтын болсақ, алдымен 3 пен 4 -ті қосамыз, содан кейін 2 -ге бөліп, 7/2 қате жауап береміз

• Ескерту - егер жақшаның ішінде бірнеше жақша болса, ішкі жақшаның ішіндегі бөлімді, содан кейін екінші іштей және т.б.

3 -қадам. Көрсеткішті шешіңіз

Жақшаны толтырғаннан кейін, теңдеудің дәрежесін шешіңіз. Мұны есте сақтау оңай, себебі экспоненттерде базалық нөмір мен қуаттың күші бір -бірінің қасында. Көрсеткіштің әр бөлігінің жауабын табыңыз, содан кейін экспонент бөлігін ауыстыру үшін теңдеуді қосыңыз.

Жақшаның ішіндегі бөлімді толтырғаннан кейін біздің мысал теңдеуіміз енді 2x + 4 (7) + 3 болады² - 5. Біздің мысалдағы жалғыз экспоненциал - 3², 9 -ға тең. Бұл нәтижені 3 -ке ауыстыру үшін теңдеуге қосыңыз² нәтижесінде 2x + 4 (7) + 9 - 5 шығады.

4 -қадам. Теңдеудегі көбейту мәселесін шешіңіз

Содан кейін, сіздің теңдеуде қажет болатын көбейтуді жасаңыз. Есіңізде болсын, көбейтуді бірнеше жолмен жазуға болады. × нүкте немесе жұлдызша белгісі - көбейтуді көрсету әдісі. Дегенмен, жақшаның қасындағы сан немесе айнымалы (4 (x) сияқты) көбейтуді де білдіреді.

• Біздің есепте көбейтудің екі бөлігі бар: 2x (2x - 2 × x) және 4 (7). Біз x мәнін білмейміз, сондықтан оны 2x күйінде қалдырамыз. 4 (7) = 4 × 7 =

  28 -қадам.. Біз 2x + 28 + 9 - 5 теңдеуін қайта жаза аламыз.

5 -қадам. Бөлуге көшіңіз

Егер сіз теңдеулерден бөлу мәселелерін іздесеңіз, көбейту сияқты бөлуді бірнеше жолмен жазуға болатынын есте сақтаңыз. Бұлардың бірі - символ, бірақ есіңізде болсын, қиғаш сызықтар мен бөлшектердегі сызықтар (мысалы, 3/4) бөлуді де көрсетеді.

Бөлшектерді жақшамен аяқтаған кезде біз бөлуді (4/2) жасадық. Біздің мысалда бөлу мәселесі жоқ, сондықтан біз бұл қадамды өткізіп жібереміз. Бұл маңызды мәселені көрсетеді - өрнекті жеңілдету кезінде барлық әрекеттерді орындаудың қажеті жоқ, тек сіздің мәселеңіздегі операциялар

6 -қадам. Әрі қарай, теңдеудегі нәрсені қосыңыз

Сіз солдан оңға қарай жұмыс жасай аласыз, бірақ алдымен оңай қосылатын сандарды қосу оңай. Мысалы, 49 + 29 + 51 + 71 есебінде 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 қарағанда 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 және 100 + 100 = 200 қосу оңайырақ. және 129 + 71 = 200.

Біздің мысал теңдеу ішінара 2x + 28 + 9 - 5 дейін жеңілдетілді. Енді біз қосуға болатын сандарды қосуымыз керек - әрбір қосу мәселесін солдан оңға қарай қарайық. Біз 2x пен 28 -ді қоса алмаймыз, себебі біз x мәнін білмейміз, сондықтан оны өткізіп жібереміз. 28 + 9 = 37, 2x + 37 - 5 түрінде қайта жазуға болады.

Қадам 7. Амалдар тізбегінің соңғы қадамы - азайту

Қалған азайту есептерін шешу арқылы проблемаңызды жалғастырыңыз. Сіз азайтуды осы қадамда теріс сандарды қосу немесе әдеттегі қосу мәселесіндегідей қадамдарды қолдану деп ойлай аласыз - сіздің таңдауыңыз жауапқа әсер етпейді.

• Біздің есепте, 2x + 37 - 5, тек бір ғана шығару мәселесі бар. 37 - 5 =

  32 -қадам.

Қадам 8. Теңдеуді тексеріңіз

Амалдардың орындалу ретін пайдаланып шешкеннен кейін, сіздің теңдеуді қарапайым түріне дейін жеңілдету керек. Алайда, егер сіздің теңдеуіңізде бір немесе бірнеше айнымалы болса, айнымалы мәндермен жұмыс істеудің қажеті жоқ екенін түсініңіз. Айнымалыны жеңілдету үшін сіз айнымалы мәнді табуыңыз керек немесе өрнекті жеңілдету үшін арнайы әдістерді қолдануыңыз керек (төмендегі қадамды қараңыз).

Біздің соңғы жауап - 2x + 32. Егер біз x мәнін білмесек, бұл соңғы қосуды шеше алмаймыз, бірақ егер біз оның мәнін білсек, бұл теңдеуді шешуге біздің ұзақ бастапқы теңдеуге қарағанда әлдеқайда жеңіл болар еді

2 -ші әдіс 2: Күрделі теңдеулерді жеңілдету

Қадам 1. Бір айнымалысы бар бөліктерді қосыңыз

Айнымалы теңдеулерді шешкенде, айнымалысы мен дәрежесі бірдей (немесе бірдей айнымалысы бар) бөліктерді қалыпты сандар сияқты қосуға және шығаруға болатынын есте сақтаңыз. Бұл бөлікте бірдей айнымалылар мен көрсеткіштер болуы керек. Мысалы, 7x пен 5x қосуға болады, бірақ 7x және 5x² қосуға болмайды.

• Бұл ереже кейбір айнымалыларға да қолданылады. Мысалы, 2кси² -3xy арқылы қорытындылауға болады², бірақ -3x арқылы қорытындылауға болмайды²y немесе -3y².
• X теңдеуін қараңыз² + 3x + 6 - 8x. Бұл теңдеуде біз 3x пен -8x қосуға болады, себебі олардың айнымалысы мен көрсеткіші бірдей. Қарапайым теңдеу х болады² - 5х + 6.

Қадам 2. Факторларды бөлу немесе сызу арқылы бөлшек сандарды жеңілдету

Бөлгіш пен бөлгіште тек сандары бар (және айнымалылары жоқ) бөлшектерді бірнеше тәсілмен жеңілдетуге болады. Біріншісі, және, мүмкін, ең қарапайымы - бөлшекті бөлу мәселесі деп санап, бөлгішті бөлгішке бөлу. Сондай -ақ, бөлгіш пен бөлгіште пайда болатын кез келген көбейту коэффициентін сызып тастауға болады, себебі екі факторды бөлгенде 1 саны шығады.

Мысалы, 36/60 бөлшегін қараңыз. Егер бізде калькулятор болса, біз жауап алу үшін оны бөле аламыз 0, 6. Алайда, егер бізде калькулятор болмаса, біз сол факторларды сызып тастау арқылы оны жеңілдете аламыз. 36/60 елестетудің тағы бір әдісі - (6 × 6)/(6 × 10). Бұл бөлшекті 6/6 × 6/10 түрінде жазуға болады. 6/6 = 1, сондықтан біздің фракция 1 × 6/10 = 6/10. Алайда, біз әлі істеген жоқпыз - 6 -да да, 10 -да да бірдей коэффициент бар, яғни 2. Жоғарыда келтірілген әдісті қайталай отырып, нәтиже шығады 3/5.

3 -қадам. Айнымалы бөлшекте айнымалының барлық факторларын сызып тастаңыз

Бөлшек түріндегі айнымалы теңдеулер жеңілдетудің бірегей әдісіне ие. Қарапайым бөлшектер сияқты, айнымалы бөлшектер де бөлгіш пен бөлгішке ортақ факторларды жоюға мүмкіндік береді. Алайда, айнымалы бөлшектерде бұл факторлар нақты айнымалының сандары мен теңдеулері болуы мүмкін.

• Теңдеуді айтайық (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Бұл бөлшекті (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x) түрінде жазуға болады, 3x есептеушіде де, бөлгіште де пайда болады. Бұл факторларды теңдіктен шығару арқылы нәтиже (x + 1)/(5 - x) болады. Өрнектегідей (2x² + 4x + 6)/2, әр бөлік 2 -ге бөлінетіндіктен, теңдеуді (2 (x² + 2x + 3))/2, содан кейін x дейін жеңілдетіңіз² + 2x + 3.
• Назар аударыңыз, сіз барлық бөлімдерді сызып тастай алмайсыз - сіз санауыш пен бөлгіште пайда болатын көбейту факторларын ғана сызып тастай аласыз. Мысалы, (x (x + 2))/x өрнегінде х -ті бөлгіштен де, бөлгіштен де қиып өтуге болады, осылайша ол (x + 2)/1 = (x + 2) болады. Алайда, (x + 2)/x 2/1 = 2 мәнін сызып тастауға болмайды.

Қадам 4. Жақша ішіндегі бөлікті тұрақтыға көбейту

Жақшадағы айнымалысы бар бөлікті тұрақтыға көбейткенде, кейде жақшаның әр бөлігін тұрақтыға көбейту қарапайым теңдеуге әкелуі мүмкін. Бұл айнымалысы бар сандар мен тұрақтылардан тұратын тұрақтыларға қатысты.

• Мысалы, 3 -ші теңдеу (x² + 8) 3x -ке дейін жеңілдетуге болады² + 24, ал 3x (x² + 8) 3x -ке дейін жеңілдетуге болады³ + 24x.
• Назар аударыңыз, кейбір жағдайларда, мысалы, айнымалы бөлшектер, жақшаның айналасындағы тұрақтыларды сызып тастауға болады, сондықтан оларды жақша ішіндегі бөлікке көбейтудің қажеті жоқ. Бөлшек түрінде (3 (x² + 8))/3x, мысалы, 3 коэффициенті бөлгіште де, бөлгіште де пайда болады, сондықтан біз оны сызып тастап, өрнекті жеңілдете аламыз (x² + 8)/x. Бұл өрнекпен жұмыс істеу оңай (3x³ + 24x)/3x, бұл көбейткенде алатын нәтиже.

Қадам 5. Факторинг арқылы жеңілдетіңіз

Факторинг - бұл кейбір айнымалы өрнектерді, оның ішінде көпмүшелерді жеңілдету үшін қолданылатын әдіс. Факторингті жақшадағы бөлікке көбейтудің керісінше деп ойлаңыз - кейде өрнекті біртұтас өрнек емес, бір -біріне көбейтілетін екі бөлік ретінде қарастыруға болады. Бұл факторинг теңдеу оның бөліктерінің бірін (бөлшектердегідей) қиып алуға мүмкіндік беретін жағдайда әсіресе дұрыс. Кейбір жағдайларда (көбінесе квадрат теңдеулермен) факторинг тіпті теңдеудің шешімін табуға мүмкіндік береді.

• Тағы да x өрнегін қабылдайық² - 5x + 6. Бұл өрнекті (x - 3) (x - 2) деп есептеуге болады. Сонымен, егер x² - 5x + 6 - берілген теңдеудің нумераторы, онда бөлгіште (x) өрнегіндегідей осы факторлардың бірі бар² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), біз факторды бөлгішпен сызып тастау үшін оны фактор түрінде жазғымыз келуі мүмкін. Басқаша айтқанда, (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) ішінде (x - 2) бөлігін (x - 3)/2 деп сызып тастауға болады.

• Жоғарыда айтылғандай, теңдеулерді көбейткіңіз келетін тағы бір себеп - факторинг сізге кейбір теңдеулерге жауап бере алады, әсіресе егер олар 0 -ге тең деп жазылса. Мысалы, x теңдеуі.² - 5x + 6 = 0. Факторинг (x - 3) (x - 2) = 0 береді. Кез келген санды нөлге көбейту нөлге тең болғандықтан, жақшаның кез келген бөлігі нөлге тең болса, сол жақтағы барлық теңдеуді білеміз. теңдік белгісі де нөлге тең. Сондай-ақ

  3 -қадам. да

  2 -қадам. теңдеудің екі жауабы.