Бөлшектерді теңестірудің 5 әдісі

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-15 08:18

Егер екі бөлшек бірдей мәнге ие болса, эквивалентті болады. Бөлшектерді эквивалентті формаларға айналдыруды білу - математиканың негізгі алгебрадан бастап жетілдірілген есептеуге дейінгі барлық формалары үшін қажет өте маңызды математикалық дағды. Бұл мақалада негізгі көбейту мен бөлуден эквивалентті бөлшек теңдеулерді шешудің күрделі әдістеріне дейінгі эквивалентті бөлшектерді есептеудің бірнеше әдістері қарастырылады.

Қадам

5 -ші әдіс 1: Эквивалентті бөлшектерді реттеу

Қадам 1. Нөмір мен бөлгішті сол санға көбейту

Екі түрлі, бірақ эквивалентті бөлшектердің анықтамасы бойынша бір -біріне еселігі мен бөлгіші болады. Басқаша айтқанда, бөлшектің алымы мен бөлгішін сол санға көбейткенде эквивалентті бөлшектер шығады. Жаңа бөлшектегі сандар әр түрлі болғанымен, бөлшектердің мәні бірдей болады.

• Мысалы, егер біз 4/8 бөлшегін алып, бөлгіш пен бөлгішті 2 -ге көбейтсек, (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 аламыз. Бұл екі фракция тең.
• (4 × 2)/(8 × 2) шын мәнінде 4/8 × 2/2 мәнімен бірдей. Есіңізде болсын, екі бөлшекті көбейту кезінде біз тура көбейтеміз, яғни бөлгішті алушы мен бөлгішті білдіреді.
• Егер сіз бөлуді жасасаңыз, 2/2 1 -ге тең екенін ескеріңіз. 4/8 × 8/16 неге эквивалентті екенін түсіну оңайырақ, себебі 4/8 × (2/2) = көбейту 4/8 болып қалады. Дәл осылай, бұл 4/8 = 8/16 деп айтумен бірдей.
• Кез келген берілген бөлшектің шексіз эквивалентті бөлшектері болады. Сіз эквивалентті бөлшекті алу үшін үлестіргішті де, бөлгішті де кез келген бүтін санға көбейте аласыз.

2 -қадам. Нөмір мен бөлгішті сол санға бөл

Көбейту сияқты, бөлу де бастапқы бөлшекке эквивалентті жаңа бөлшекті табу үшін қолданылуы мүмкін. Эквивалентті бөлшекті алу үшін жай бөлшектің алымы мен бөлімін сол санға бөліңіз. Бұл процестің бір кемшілігі бар - ақырғы бөлшектің рас болуы үшін бөлгіште де, бөлгіште де бүтін сандар болуы керек.

Мысалы, 4/8 -ге қарайық. Егер көбейтудің орнына сан мен бөлгішті 2 -ге бөлсек, (4 2)/(8 2) = 2/4 аламыз. 2 және 4 - бүтін сандар, сондықтан бұл эквивалентті бөлшектер ақиқат

5 -ші әдіс 2: Теңдікті анықтау үшін негізгі көбейтуді қолдану

Қадам 1. Үлкен бөлгішті алу үшін кіші бөлгішке көбейту керек санды табыңыз

Бөлшектерге қатысты көптеген мәселелер екі бөлшектің эквивалентті екенін анықтайды. Бұл санды есептей отырып, теңдікті анықтау үшін бөлшек мүшелерді теңестіруге кірісуге болады.

• Мысалы, 4/8 және 8/16 бөлшектерін қайта қолданыңыз. Кіші бөлгіш 8 -ге тең, ал үлкен бөлгішті алу үшін санды 2 -ге көбейту керек, яғни 16. Демек, бұл жағдайда сан 2 -ге тең.
• Күрделі сандар үшін үлкен бөлгішті кіші бөлгішке бөлуге болады. Бұл жағдайда 16 8 -ге бөлінеді, ол әлі де 2 береді.
• Сан әрқашан бүтін сан емес. Мысалы, егер бөлгіштер 2 және 7 болса, онда бұл сан 3, 5.

Қадам 2. Кіші мүшесі бар бөлшектің алымы мен бөлімін бірінші қадамнан бастап санға көбейт

Екі түрлі, бірақ эквивалентті фракциялар анықтамасы бойынша бір -біріне еселігі мен бөлгіші. Басқаша айтқанда, бөлшектің алымы мен бөлімін сол санға көбейткенде эквивалентті бөлшек шығады. Бұл жаңа бөлшектегі сандар әр түрлі болғанымен, бұл бөлшектердің мәні бірдей болады.

Мысалы, егер біз бірінші қадамдағы 4/8 бөлшегін қолдансақ және бөлгіш пен бөлгішті бұрын анықталған санға көбейтсек, 2 -ге тең болсақ, (4 × 2)/(8 × 2) = аламыз 8/16. Бұл нәтиже бұл екі бөлшектің эквивалентті екенін дәлелдейді.

5 -ші әдіс 3: теңдікті анықтау үшін негізгі бөлімді қолдану

Қадам 1. Әр бөлшекті ондық сан ретінде сана

Айнымалылары жоқ жай бөлшектер үшін теңдікті анықтау үшін әр бөлшекті ондық сан ретінде көрсетуге болады. Әрбір бөлшек бөлу мәселесі болғандықтан, бұл теңдікті анықтаудың ең қарапайым әдісі.

• Мысалы, біз бұрын қолданған бөлшекті қолданыңыз, 4/8. 4/8 бөлшегі 4 -ті 8 -ге бөлу дегенге тең, бұл 4/8 = 0,5. Сіз басқа мысалды шеше аласыз, ол 8/16 = 0,5. Бөлшектегі мүшелерге қарамастан, бөлшек эквивалентті егер ондық бөлшекте көрсетілгенде екі сан бірдей болса.
• Есіңізде болсын, ондық өрнектерде теңдік анық болғанға дейін бірнеше цифрлар болуы мүмкін. Негізгі мысал ретінде 1/3 = 0.333 қайталанады, ал 3/10 = 0.3. Бірнеше цифрды қолдана отырып, біз бұл екі бөлшектің эквивалентті емес екенін көреміз.

Қадам 2. Бөлшектің алымы мен бөлгішін сол санға бөліп, эквивалентті бөлшекті алу керек

Күрделі бөлшектер үшін бөлу әдісі қосымша қадамдарды қажет етеді. Көбейту кезінде сіз эквивалентті бөлшек алу үшін бөлшектің алымы мен бөлгішін сол санға бөлуге болады. Бұл процестің бір кемшілігі бар. Ақырғы бөлшектің рас болуы үшін бөлгіште де, бөлгіште де бүтін сандар болуы керек.

Мысалы, 4/8 -ге қарайық. Егер көбейтудің орнына сан мен бөлгішті 2 -ге бөлсек, (4 2)/(8 2) = аламыз 2/4. 2 және 4 - бүтін сандар, сондықтан бұл эквивалентті бөлшектер ақиқат.

Қадам 3. Бөлшектерді олардың қарапайым мүшелеріне жеңілдетіңіз

Бөлшектердің көпшілігі әдетте қарапайым түрде жазылады, және сіз ең үлкен ортақ факторға (GCF) бөлу арқылы бөлшектерді ең қарапайым түріне айналдыра аласыз. Бұл қадам эквивалентті бөлшектерді жазу сияқты логикада жасалады, оларды сол бөлгішке түрлендіреді, бірақ бұл әдіс әр бөлшекті мүмкін болатын ең кіші мүшелеріне жеңілдетуге тырысады.

• Бөлшек ең қарапайым түрінде болғанда, бөлгіш пен бөлгіштің мүмкін болатын ең кіші мәндері болады. Кішірек мәнді алу үшін екеуін де бүтін санға бөлуге болмайды. Қарапайым емес бөлшекті қарапайым эквивалент түріне айналдыру үшін, біз санағыш пен бөлгішті олардың ең үлкен ортақ коэффициентіне бөлеміз.

• Нөмір мен бөлгіштің ең үлкен ортақ коэффициенті (GCF) - бұл бүтін нәтиже беру үшін оларды бөлетін ең үлкен сан. Сонымен, біздің 4/8 мысалда, себебі

  4 -қадам. 4 пен 8 -ге бөлінетін ең үлкен сан, біз қарапайым бөлшектерді алу үшін бөлшегіміздің алымы мен бөлгішін 4 -ке бөлеміз. (4 4)/(8 4) = 1/2. Біздің басқа мысал үшін, 8/16, GCF - 8, ол сонымен қатар 1/2 мәнін бөлшектің қарапайым өрнегі ретінде қайтарады.

5 -ші әдіс 4: Айнымалыларды табу үшін кросс -өнімдерді қолдану

Қадам 1. Екі бөлшекті бір -біріне тең болатындай етіп орналастыр

Біз математикалық есептер үшін көлденең көбейтуді қолданамыз, онда біз бөлшектердің эквивалентті екенін білеміз, бірақ сандардың бірі біз шешуге тура келетін айнымалыға ауыстырылды (әдетте х). Мұндай жағдайларда біз бұл бөлшектердің эквивалентті екенін білеміз, себебі олар теңдік белгісінің екінші жағындағы жалғыз терминдер, бірақ көбінесе айнымалыны табудың жолы анық емес. Бақытымызға орай, көлденең көбейту кезінде мұндай есептерді шешу оңай.

Қадам 2. Екі эквивалентті бөлшекті алып, оларды «Х» әрпіне көбейт

Басқаша айтқанда, сіз бір бөлшектің алымын екінші бөлшектің бөлгішіне көбейтесіз және керісінше, содан кейін екі жауапты бір -біріне сәйкестендіріп шешіңіз.

Біздің екі мысалды алайық, 4/8 және 8/16. Ешқайсысының айнымалысы жоқ, бірақ біз тұжырымдаманы дәлелдей аламыз, өйткені біз олардың эквивалент екенін білеміз. Айқас көбейту арқылы біз 4/16 = 8 x 8 немесе 64 = 64 аламыз, бұл рас. Егер бұл екі сан тең болмаса, онда бөлшектер эквивалентті болмайды

Қадам 3. Айнымалыларды қосыңыз

Айқынды көбейту - айнымалыларды табу қажет болғанда эквивалентті бөлшектерді анықтаудың ең оңай әдісі болғандықтан, айнымалыларды қосайық.

• Мысалы, 2/x = 10/13 теңдеуін қолданайық. Айқас көбейту үшін біз 2 -ді 13 -ке, 10 -ды x -ке көбейтеміз, содан кейін жауаптарымызды бір -біріне теңестіреміз:

  • 2 × 13 = 26
  • 10 × x = 10x
  • 10x = 26. Осыдан біздің айнымалыға жауап табу - қарапайым алгебра мәселесі. x = 26/10 = 2, 6, бастапқы эквивалентті бөлшекті 2/2, 6 = 10/13 құрайды.

Қадам 4. Көп айнымалы бөлшектер немесе айнымалы өрнектер үшін айқас көбейтуді қолданыңыз

Айқас көбейтудің ең жақсы жақтарының бірі - ол екі қарапайым бөлшекпен (жоғарыда көрсетілгендей) немесе одан да күрделі бөлшектермен жұмыс жасасаңыз да, дәл осылай жұмыс істейді. Мысалы, егер екі фракцияда да айнымалылар болса, шешу кезінде тек осы айнымалыларды жою қажет. Дәл осылай, егер сіздің фракцияның бөлгішінде немесе бөлгішінде айнымалы өрнек болса (мысалы, x + 1), оны тарату қасиетін қолдана отырып «көбейтіңіз» және әдеттегідей шешіңіз.

• Мысалы, ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) теңдеуін қолданайық. Бұл жағдайда, жоғарыда айтылғандай, біз оны кросс -өніммен шешеміз:

  • (x + 3) × 4 = 4x + 12
  • (x + 1) × 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12, онда біз екі жақтан 2х алып тастау арқылы бөлшекті жеңілдете аламыз
  • 2 = 2x + 12, содан кейін айнымалыны екі жағынан 12 -ні алып тастап оқшаулаймыз
  • -10 = 2x, және 2 -ге бөлініп, х -ты табыңыз
  • - 5 = x

5 -ші әдіс 5: Айнымалыларды табу үшін квадраттық формулаларды қолдану

Қадам 1. Екі бөлшекті қиып өт

Квадрат формуланы қажет ететін теңдік есептері үшін біз әлі де кросс көбейтіндісін қолданудан бастаймыз. Алайда, айнымалының шарттарын басқа айнымалыға көбейтуді қамтитын кез келген кросс -өнім алгебраның көмегімен оңай шешілмейтін өрнекке әкелуі мүмкін. Мұндай жағдайларда факторинг және/немесе квадрат формулалар сияқты әдістерді қолдану қажет болуы мүмкін.

• Мысалы, ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) теңдеуін қарастырайық. Алдымен, көбейтуді айқындайық:

  • (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  • 4 × 3 = 12
  • 2x² - 2 = 12.

Қадам 2. Теңдеуді квадрат теңдеу түрінде жаз

Бұл бөлімде біз бұл теңдеуді квадрат түрінде жазғымыз келеді (ax² + bx + c = 0), оны теңдеуді нөлге теңестіру арқылы жасаймыз. Бұл жағдайда 2x алу үшін екі жақтан да 12 -ні алып тастаймыз² - 14 = 0.

Кейбір мәндер 0 -ге тең болуы мүмкін. 2x болса да² - 14 = 0 - біздің теңдеудің ең қарапайым түрі, нақты квадрат теңдеу 2х² + 0x + (-14) = 0. Кейбір мәндер 0-ге тең болса да, квадрат теңдеудің формасын жазу басында пайдалы болуы мүмкін.

Қадам 3. Квадрат теңдеудегі сандарды квадрат формулаға қосу арқылы шешіңіз

Квадраттық формула (x = (-b +/- (б² - 4ac))/2a) бізге осы бөлімде x мәнін табуға көмектеседі. Формуланың ұзындығынан қорықпаңыз. Сіз жай ғана екінші қадамдағы квадрат теңдеудің мәндерін алып, оларды шешпес бұрын оларды дұрыс орындарға қойыңыз.

• x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a. Біздің теңдеуде 2x² - 14 = 0, a = 2, b = 0 және c = -14.
• x = (-0 +/- (0² - 4(2)(-14)))/2(2)
• x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
• x = (+/- (112))/2 (2)
• x = (+/- 10,58/4)
• x = +/- 2, 64

4-қадам. Квадрат теңдеуіңізге x мәнін қайта енгізу арқылы жауабыңызды тексеріңіз

Есептелген x мәнін екінші қадамдағы квадрат теңдеуіне қайта қосу арқылы сіз дұрыс жауап алғаныңызды оңай анықтай аласыз. Бұл мысалда сіз бастапқы квадрат теңдеуге 2, 64 және -2, 64 қосасыз.

Кеңестер

• Бөлшекті эквивалентке айналдыру - бұл бөлшекті 1 -ге көбейтудің бір түрі. 1/2 -ді 2/4 -ке айналдыруда, бөлгіш пен бөлгішті 2 -ге көбейту 1/2 -ге 2/2 көбейткенмен бірдей, бұл 1 -ге тең..

• Қаласаңыз, түрлендіруді жеңілдету үшін аралас санды жай бөлшекке айналдырыңыз. Әрине, сіз кездестіретін бөлшектердің барлығы жоғарыдағы 4/8 мысалды түрлендіру сияқты оңай болмайды. Мысалы, аралас сандар (мысалы, 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 және т.б.) түрлендіру процесін сәл күрделендіруі мүмкін. Егер аралас санды жай бөлшекке айналдыру қажет болса, мұны екі жолмен жасауға болады: аралас санды жай бөлшекке түрлендіру, содан кейін оны әдеттегідей түрлендіру, немесе аралас сандар формасын сақтау және аралас сандар түрінде жауап алу арқылы.

  • Ортақ бөлшекке айналдыру үшін аралас санның бүтін компонентін бөлшек бөліктің бөліндісіне көбейтіп, содан кейін бөлгішке қосыңыз. Мысалы, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Содан кейін, егер қажет болса, оны қажеттілікке қарай өзгертуге болады. Мысалы, 5/3 × 2/2 = 10/6, бұл 1 2/3 тең болып қалады.
  • Алайда, біз оны жоғарыдағыдай қарапайым бөлшекке айналдырудың қажеті жоқ. Әйтпесе, біз бүтін сан компонентін жалғыз қалдырамыз, бөлшек компонентті ғана өзгертеміз және бүтін сан компонентін өзгеріссіз қосамыз. Мысалы, 3 4/16 үшін біз тек 4/16 көреміз. 4/4 4/4 = 1/4. Сонымен, біздің бүтін сандық компоненттерді қосу арқылы біз жаңа аралас санды аламыз, 3 1/4.

Ескерту

• Көбейту мен бөлуді эквивалентті бөлшектерді алу үшін қолдануға болады, себебі 1 санының бөлшек түріндегі көбейту мен бөлу (2/2, 3/3 және т.б.) анықтамасы бойынша бастапқы бөлшекке эквивалентті жауап береді. Қосу мен азайтуды қолдану мүмкін емес.

• Бөлшектерді көбейту кезінде бөлгіштер мен бөлгіштерді көбейтсеңіз де, бөлшектерді қосу немесе азайту кезінде бөлгіштерді қоспайсыз немесе азайтамыз.

  Мысалы, жоғарыда біз 4/8 4/4 = 1/2 екенін білеміз. Егер біз 4/4 қоссақ, біз мүлдем басқа жауап аламыз. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 немесе 3/2, олар 4/8 -ге тең емес.